Некоторые классы двумерных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями и их приложения к эллиптическим системам дифференциальных уравнений

• Автор: Одинабеков, Джасур Музофирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 62 с.

ВВЕДЕНИЕ (Обзор литературы. Основные результаты работы)
§1 Описание пространств функций и некоторые вспомогательные
сведения
§2 Об одном классе двумерных сингулярных интегральных
операторов с несколькими фиксированными особенностями
§3 О нетеровости и индексе некоторых классов двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями
§4 Сингулярные интегральные операторы с четной характеристикой
и с коэффициентами, имеющие разрыв в двух точках
§5 Двумерные сингулярные интегральные операторы с четной характеристикой и с несколькими фиксированными особенностями
§6 Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных
уравнений с сингулярными коэффициентами
ЛИТЕРАТУРА :

Введение(Обзор литературы. Основные результаты работы)
Известно, что наиболее полные и тонкие результаты в теории дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными были получены на основе применения методов теории сингулярных интегральных уравнений.
Рассматриваемые в работе двумерные сингулярные интегральные уравнения соприкасаются с направлением, связанным с новым классом интегральных уравнений, введенных в рассмотрение Л.Г.Михайловым [48]-[57] при изучении дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами. Речь идет о многомерных интегральных уравнениях с однородными порядка (—п), ядрами, удовлетворяющих определенному условию суммируемости.
С другой стороны, исследуемые интегральные уравнения примыкают к направлению, связанному с теорией многомерных сингулярных интегральных операторов (С. Г. Михлин [58]-[60], А. Кальдерон и А. Зигмунд [66]-[68], И. Б. Симоненко [63]-[64], А. Джураев [32]-[37], Р. В. Дудучава [38]-[41], Н. Л. Василевский [6]-[9], И. И. Комяк [43]-[47], Б. М. Бильман и Г. Джангибеков [2]-[4], Г. Джангибеков [11]-[31], в частности, они включают в себе двумерные сингулярные операторы, которые, как показано в известной монографии И. Н. Векуа [10], а также в монографии А. Джураева [33] и в работе Б. Боярского [5], играют важную роль в теории краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. При этом следует особо отметить, что в работе Джураева (ДАН СССР, 1971,т.197, №6,с.1251-1254) впервые обнаружен эффект влияния границы области на нетеровость и индекс двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области.
Перейдем к непосредственному изложению основных результатов
работы.

Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем описаны используемые в работе пространства.
Второй параграф посвящен исследованию в весовом пространстве ^п(д-2/р)(Р) двумерных сингулярных интегральных операторов, представимые в виде суммы сингулярных операторов с несколькими разрывами в коэффициентах и операторов с ядрами имеющими фиксированные особенности в нескольких точках.
где а(г),Ь(г),с(г) - непрерывные в И = 1>иГ функции, а измеримые ограниченные в И функции Ы(а) (I = 1,2,.., т) удовлетворяют следующим двум условиям:
а) /гДа) - непрерывны по Гельдеру в точке а = 1, т.е.
изучен ранее Джангибековым в работе [28], где получены необходимые и достаточные условия нетеровости оператора и вычислен индекс.
В диссертации показано, что каждая точка разрыва существенно влияет на нетеровость и индекс оператора.
Как видно из (0.1) оператор А состоит из двух видов операторов. Первое слагаемое является сингулярным интегральным оператором по ограниченной области Д который к тому же еще в ядре содержит функции имеющие фиксированные особенности в точках ^ (? — 1,2, ...,п). Остальные слагаемые являются операторами с суммируемыми однородными ядрами с несколькими фиксированными особенностями.
(0.1)

§6. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Известно, что важнейшими краевыми задачами для эллиптического уравнения второго порядка является задача Дирихле (первая краевая задача) и задача Неймана (вторая краевая задача). Для сильно эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка задача Дирихле методом интегральных уравнений была изучена Боярским Б.В. [5]
В работах [12], [29] была изучена задача Дирихле и Неймана для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с двумя функциями от двух переменных. Показано, что указанные краевые задачи не всегда обладают "фредгольмовскими"свойствами. В предположении непрерывности коэффициентов системы, были установлены необходимые и достаточные условия нетеровости и даны формулы для вычисления индекса указанных задач в лебеговом пространстве 1/(0), 2 <
р < оо.
Результаты работы [30] показывают, что отказ от непрерывности коэффициентов приводит к тому, что найденные в [12], [29] условия нетеровости перестают быть достаточными, и более того, разрешимость задачи будет зависить от показателя р лебегового пространства 1/(В)
В настоящей работе в единичном круге И = {г : г < 1} рассмотрим следующую эллиптическую систему второго порядка с двумя сингулярными точками
+щ(г)— + ОД— + в1(г)и + Н(г)и = д(г),
(6.1)