Развитие теории метода усреднения для квазилинейных параболических начально-краевых задач

• Автор: Александров, Владимир Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 125 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений с нестационарной линейной главной частью

§1. Абстрактные параболические уравнения с начальными условиями

§2. Полулинейные начально-краевые задачи второго порядка

§3. Полулинейные начально-краевые задачи произвольного порядка

Глава 2. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений с нелинейной главной частью

§1. Абстрактные параболические уравнения с начальными условиями

§2. Квазилинейные начально-краевые задачи

Глава 3. Асимптотическое интегрирование параболических начально-краевых задач

§1. Полулинейные задачи

§2. Квазилинейные задачи
Литература

Введение
Метод усреднения - один из важнейших асимптотических методов интегрирования дифференциальных уравнений. История его зарождения уходит в XVIII век и связана с работами по небесной механике. Так, идеи метода усреднения встречаются в работах А. Клеро, Ж. Лагранжа, С. Лапласа, К. Гаусса. В начале XX века этот метод активно развивал Ван-дер-Поль, при этом ни он, ни тем более его предшественники вопросами его математического обоснования не занимались. Впервые корректность использования метода усреднения была обоснована в работах П. Фату (1928 г.) и Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси (1934 г.), связанных с нормальными системами дифференциальных уравнений с начальными условиями и периодическими по времени правыми частями.
Систематическое развитие теории метода усреднения связано с именами H. М. Крылова и H. Н. Боголюбова, которые исследовали определенные широкие классы систем дифференциальных уравнений с малым параметром. Их результаты получили дальнейшее развитие в трудах многочисленных исследователей, причем изучались не только обыкновенные дифференциальные уравнения, но и интегральные уравнения, уравнения в частных производных, разностные уравнения и другие.
Прежде чем перейти к обзору результатов по методу усреднения, наиболее близких к теме диссертации (то есть относящихся к параболическим задачам), отметим некоторые книги по теории этого метода. Это монографии
H. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского [1], Ю. А. Митропольского [2], В. М. Волосова, Б. И. Моргунова [3], В. Ф. Журавлева, Д. М. Климова [4], И. Б. Симоненко [5], В. Б. Левенштама [6].
В работе И. Б. Симоненко [7] (см. также [5]) метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений

— = Аи + /(и, /, сш), со :»

(0.0.1)
в банаховых пространствах с линейной, вообще говоря, неограниченной стационарной главной частью А, порождающей аналитическую полугруппу, и подчиненной (в определенном смысле) ей быстро осциллирующей нелинейностью /(м, /, г), обладающей средним по т
Здесь рассмотрена задача Коши и задача о периодических решениях, последняя — в окрестности стационарного невырожденного решения усредненного уравнения. В работе [8] указанные результаты перенесены на широкие классы полулинейных параболических уравнений с не зависящими от времени старшими коэффициентами и с краевыми условиями в ограниченных пространственных областях:
Здесь д2к~[и - вектор-функция, естественным образом составленная из всевозможных частных производных и по д; до порядка 2/с — 1 включительно. В той же работе [8] метод усреднения обоснован для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих по времени сил. В работах [9],[10] предложена и обоснована одна схема построения асимптотики решения задачи Коши для упоминавшихся выше абстрактных параболических уравнений и начально-краевой задачи для параболических уравнений.
В работе В. Б. Левенштама [11] метод усреднения обоснован для абстрактных параболических уравнений (0.0.1) в случае общих ограниченных

(0.0.2)
Ьр)(х)ВРи = 0, х е дО, у = 1,..., к
1й]<ту

Тогда получим:

(-АоГ [£/(>', т)г(т)] Ат
(-А0)5(-А)-"(Т)х

х {-АПОЩ?,т)(-А)^(т)(-А/(т)(-А)^(-А)"г(т) Ат

_ с^' ~ ^ + а 1М1я(*) ^ С! К ~ ч Нг11жда) ’

в силу того, что 1 - [1 > а - /3.
Оценим теперь /2- Возьмем
О, если 7 = 0,
Р =
9,9 е (0, 7), если ц > 0; так, чтобы 1 - II - 6 + /3 > 0. Тогда, справедлива цепочка неравенств
—Ао) [и(/>т) - £/(/,т)]г(т) _ -АоГ[С/(г',т) - С/(г,т)]х
х (-А)^(т)(-А/(т)(-А0)-,'(-Ао)ЭД||в Ат

' сГ - ф Ат „
|Г/ _ т|^+й-/3 ^
< С] |^ - г|р ЦгНясвч ■
Доказательство леммы 1.1 закончено.
Докажем, что задача (1.1.3) эквивалентна интегральному уравнению
л(0 = II (и 0)хо + а задача (1.1.4) - уравнению
у(0 = [/(/,0)х<> +
и {г, т)Дх(т), т, сот) Ат,
(1.1.9)
и^,т)Р(у(т),т) Ат.
(1.1.10)