Начальная и многоточечные задачи для линейных дифференцированных уравнений и характеристические уравнения типа Риккати

• Автор: Хасеинов, Казбек Акбарович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 145 c. : ил

Глава I. ФОРМУЛА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЛАДКОЙ ФУНЩЖ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ ПАРАОДТРАХ БАЗИСНОГО УРАВНЕНИЯ § I. Линейное однородное дифференциальное уравнение /2. -го порядка и его базисное уравнение типа Риккати § 2. Формула решения неоднородного линейного дифференциального уравнения § 3. Формула представления гладкой функции при переменных параметрах базисного уравнения § 4. Локальные свойства формулы представления функции

§ 5. Взаимосвязь формул Лагранжа, Петерсона и полученной

формулы

Глава II. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ

ЗАДАЧ ДНЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 6. Частное и общее решения линейного дифференциального уравнения на основе формулы представления функции § 7. Сопряженная /2. - точечная задача для линейного дифференциального уравнения § 8. Решение /2. - точечной краевой задачи

§ 9. Функция Грина и её свойства

Глава III. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ КЛАССОВ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ §10. Кратные решения характеристических уравнений (П. -I)-го порядка типа Риккати §11. Алгебраический метод решения одного класса линейных

дифференциальных уравнений /2. -го порядка с переменными коэффициентами

§12. Возвратное дифференциальное уравнение /2 -го порядка

и его свойства

§13. Условия приводимости линейных дифференциальных уравнений к уравнениям с постоянными коэффициентами
§14. Частичная приводимость линейных дифференциальных
уравнений
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ §15. Достаточные условия интегрируемости и выделение специальных классов линейных дифференциальных уравнений
§16. Исследование задач о рупорах, об устойчивости стержней
с переменным сечением и другие задачи
§17. Приемы интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
Рисунок области функции Грина для А2, = 5
Литература

Теория краевых задач является одной из актуальных и активно развивающихся разделов дифференциальных уравнений, так как краевые задачи имеют самые различные приложения в теории колебаний, математической физике, вариационном исчислении, оптимальном управлении и других прикладных задачах /8,36,56,58,65,74,81/. Наиболее она развита для уравнений второго порядка и включает в себя от осцилляционной теории Штурма до современной теории обратных задач /9,18,22,43,60,78/. Теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений посвящены исследования известных советских и зарубежных математиков Н.В.Азбелева, Ю. А.Клокова,
A.Г.Костюченко, М.А.Красносельского, Б.М.Левитана, В.Б.Лидского, Л.Ф.Рахматуллиной, 3.Б.Цалюка, £>С гАЛоЛ (Угонит-££ое Ре{.ег~ьо/ъ А. Б., ЪсЬтсЬ{. С7лс А, 5^/г, К.
Наименее исследованы многоточечные задачи, так как промежуточные точки, входящие в краевые условия, порождают ряд серьезных трудностей: нарушение гладкости функции Грина, отсутствие сопряженной задачи и другое. Слабо изученными оказались важные в прикладном плане переопределенные многоточечные задачи, в которых краевые условия в промежуточных узлах являются "лишними". Такие задачи имеют прямое отношение к теории сплайна аналогично тому, как задача Валле-Пуссена к теории интерполирования, а также используются в теории многоопорных балок/15,28,29,49,67,80,89з,92/.
Важные результаты о колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений содержатся в работах В.А.Кондратьева /34/,вопросы неосцилляции решений уравнений, исследование свойств функции Грина для краевых задач рассматриваются в работах АЛО.Левина,
B.П.Максимова, Ю.В.Покорного, В.Д.Пономарева, Е.С.Чичкина,
Ве&зР.Р.7 РеАа.г'С 5Г.^ РесЖ. У. ТГ и других

тогда существует фундаментальная система решений однородного уравнения /^.= 0 такая, что
(т^)(*і) = і г-,,1 П., <7-6>
где 8^ і - символ Кронекера.
Доказательство. Так как п. непрерьшны,
то существует фундаментальная система решении^,(ас)^ С*^.. однородного уравнения = 0. Будем искать решения в віще
^ («0 = 3, %,(*> +С^у,Сх)+,„+ е^л у»£*). (7-7>
Для определенности докажем лемму для с £
Применим оператор Т к функции (7.7) и перенесем все члены в правую часть
С€Дту,Хя:)+ •+С«в(т^*Ха:)-Ст‘<’Ю№=о.
Записывая это выражение в точках {Хі}]Ь с учетом краевых условий (7.6) и рассматривая совместно с (7.7), получим систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно Сеч
ЄЄ2 0еь,~1 +Сег.Сі %г)(.Хі) -Ь " I + Сек(Т^н)С^і)
Сеі (ту,)(*<)+С<2 (туОСй) + «• + Се* (Т^)(ад ~ 4 «0;(Т¥<)С*Н Се< + Сег#г(<0 Ч... + С«»і ^Сх)-^е(х)^о (**)
Се<(т^іХ^О+Сег.(Тїа)(^)+.~ + С ^Се<(тУ<Х*>0 Сен 0>Х*и) - О
Чтобы существовало нетривиальное решение однородной си определитель должен быть равен нулю, т.е.