Некоторые задачи качественной теории функционально-дифференциальных уравнений

• Автор: Ким, Аркадий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 250 с. : ил

Содержание
Введение

Основные обозначения

I Инвариантная производная функционалов на С[е.6]

1 Функциональные производные

1.1 Производная Фрише

1.2 Производная Гато

2 Классификация функционалов на С[«Ф] 2(

2.1 Регулярные функционалы

2.2 Сингулярные функционалы

2.3 Специальные функционалы

3 Вычисление функционала вдоль линии
3.1 Операторы сдвига
3.2 Суперпозиция функционала и функции
3.3 Производные Днни
4 Обсуждение двух примеров
4.1 Производная функции вдоль кривой
4.2 Производная функционала вдоль кривой
5 Инвариантная производная
5.1 Инвариантная производная
5.2 Инвариантная производная н классе Ва,Ь]
5.3 Примеры
6 Свойства инвариантной производной
6.1 Правила вычисления инвариантных производных
6.2 Инвариантная дифференцируемость и инвариантная непрерывность . . -
6.3 Инвариантные производные высшего порядка
6.4 Разложение в ряд
7 Многомерный случай
7.1 Обозначения
7.2 Оператор сдвига
7.3 Частная инвариантная производная
8 Обобщенные производные нелинейных функционалов
8.1 Введение
8.2 Распределения (обобщенные функции)
8.3 Обобщенные производные нелинейных распределений

8.3.1 Основные определения
8.3.2 Обобщенная производная как инвариантная производная
8.4 Свойства обобщенных производных
8.5 Обобщенные, производные (п. мерный случай)
8.0 Пространство Ь'1) нелинейных распределений
8.6.1 Сходимость в вО
8.6.2 Произведение в
8.7 Базис по сдвигу
8.8 Первообразная
8.9 Обобщенные решения нелинейных дифференциальных уравнений
8.10 Линейные дифференциальные уравнения с. переменными коэффициентами
II Инвариантная производная функционалов на К х И" х (Д-г.Щ
9 Функционалы на СД—т, 0)
9.1 Регулярные функционалы
9.2 Сингулярные функционалы
9.3 Специальные функционалы
9.4 г-Структура функционалов
10 Функционалы на К х 11" х (Д~т, 0)
10.1 Регулярные функционалы
10.2 Сингулярные функционалы
10.3 Функционалы типа Вольтерра
11 Инвариантная производная
11.1 Инвариантная производная функционалов
11.2 Примеры
11.3 Инвариантная непрерывность и инвариантная дифференцируемость .
11.4 Инвариантная производная на С?[— г, 0]
12 Коинвариантная производная
12.1 Коинвариантная производная функционалов
12.2 Коинвариантная производная в классе В—т, 0]
12.3 Свойства коипвариаштюй производной
12.4 Частные производные высших порядков
12.5 Формулы г-гладкого исчисления для отображений
III Функционально-дифференциальные уравнения
13 Фазовое пространство и условная запись ФДУ
13.1 Фазовое пространство ФДУ
13.2 Условные обозначения ФДУ

14 Существование и единственность решений
14.1 Основные теоремы
14.2 О продолжимости решений и их зависимости от начальных данных
14.3 О методе шагов
15 Гладкость решений
15.1 Гладкость решении в начальный момент
15.2 Гладкость решений на интервале
15.3 Плотность специальных начальных функций
16 Процедура склейки
16.1 Общий случаи
16.2 Модификация многочленами
16.3 Процедура склейки второго порядка
16.4 Процедура склейки второго порядка для линейного ФДУ
17 Разложение решений ФДУ в ряд Тейлора
17.1 Общая формула
.17.2 Применение к нахождению порядка аппроксимации численных методом
18 Об инвариантной дифференцируемости решений по начальным данным
18.1 Линейные ФДУ
18.2 Нелинейные ФДУ
19 Первые интегралы ФДУ
20 Уравнения нейтрального типа
20.1 Фазовое пространство и пространство состояний
20.2 Условная запись
‘20.3 Уравнения в полных дифференциалах
20.4 Уравнения с полным дифференциалом
21 Операторы запаздывания. Структура ФДУ.
21.1 Операторы запаздывания
21.2 Структура ФДУ
IV Устойчивость ФДУ
22 Постановка задачи
22.1 Основные определения
22.2 Об устойчивости относи тельно возмущений из И, С[—т, 0] и Ырк[—т, 0]
22.3 Теорема о равномерной устойчивости

Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию Ф fc ЕКЩ и рассмотрим функции
уФ(у) = Г[Т„Ф]. (1.44)
Ыу) - П'[7„Ф]. (1.15)
у Є [—к, к]. Сумма этих функции имеет в нуле производную
щ ('ПфЫ + н'ф(ї/)) I о — ®ф(0) + ii>(0) = 0 [с] + 411 [0]
не зависящую от конкретного вида функции Ф. Следовательно. сумма функционалов V и IF является инвариантно дифференцируемым в томі«1 ф функционалом и справедлива формула (1.41).
Аналогичным образом, используя свойства, функции (1.41) и (1.45), выводятся формулы (1.42) и (1.43). □
Замечание 6.1 Нетрудно проверить, что инвариантам производная ютгштты (постоянного функционала) равна нулю. □
Замечание 6.2 Из (1.42) следует, что
4(cF[*j) с-,:л».
если функционал )’[•] : В[а, &] R инвариантно дифференцируем и точке ф Є 13[п. Ь] и с. константа. □
Инвариантная производная суперпозиции функции, и (функционала вычисляется по следующему правилу.
Теорема 6.2 Если, (функционал F : B[aJ> —» R инвариантно дифференцируем в
точке ф* Є В[а.Ь], а (функция д(х) : R —> R дгіффр-ренцщщвлиі а точке х* = V[4^,
тогда функционал 0[ф] = у(У[ф]) инвариантно дифифер&пцируем в пипке ф* и
и(Ги!/'' = <ід^- дУ[Ф*} ■ (1.46)

Например, если функционал V инвариантно дифференцируем в точке ф Є B[a,b, тогда
д(с-У{ф)= с-д'[ф,
з(к*[0]) = kV*-1 [ф] ■ 9V[4>] (k: - const),
=avw-lnа -д'[ф, дфу№ = сгМ дущ ,