Неклассические задачи для уравнений в частных производных второго порядка

• Автор: Нефедов, Павел Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. Глава 1. Постановка и разрешимость аналога задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в трехмерной
области

1.1. Постановка задачи Трикоми

1.2. Решение задачи Трикоми

1.3. Единственность решения задачи

Трикоми

2. Глава 2. Постановка и разрешимость аналога задачи Франкля для уравнения

- Лаврентьева-Бицадзе в трехмерной области

2.1. Постановка задачи Франкля

2.2. Решение задачи Франкля
2.3. Обоснование регулярности полученного решения задачи
Франкля
3. Глава 3. Постановка и разрешимость аналога задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в
трехмерной области
3.1. Постановка задачи Геллерстедта
3.2. Решение задачи Геллерстедта
3.3. Обоснование регулярности полученного решения задачи
Геллерстедта

4. Глава 4. Постановка и разрешимость адгезионной задачи для уравнения Лапласа в круге

4Л. Постановка адгезионной задачи в
круге
4,2. Решение адгезионной задачи в круге
5. Глава 5. Постановка и разрешимость адгезионной задачи для уравнения
Лапласа в полуплоскости
5.1. Постановка адгезионной задачи в
полуплоскости
5.2. Решение адгезионной задачи в
полуплоскости
5.3. Единственность регулярного решения адгезионной задачи в
полуплоскости
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
7. ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Теория дифференциальных уравнений с частными производными, берущая начало с работ Леонарда Эйлера, в настоящее время является одним из важнейших разделов современного математического анализа и находит обширные приложения в различных разделах механики и физики, в частности, в аэро- и гидродинамике, трансзвуковой газодинамике [1] и акустике, магнитной гидродинамике и физике плазмы, теории упругости и пластичности, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака [2].
В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа.
Повышенный интерес к этим классам уравнений, конечно же, объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в гидродинамике, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих иных областях естествознания. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.
Важная роль в развитии теории дифференциальных уравнений с частными производными в 20-ом веке принадлежит таким выдающимся математикам как
С.Л.Соболев, И.Г.Петровский, М.А.Лаврентьев, М.В.Келдыш, А.Н.Тихонов, Л.С.Понтрягин, А.А.Самарский, А.В.Бицадзе, В.С.Владимиров, В.А.Ильин и др.
Особое место в теории дифференциальных уравнений с частными производными занимает теория уравнений смешанного типа. В монографии А.В.Бицадзе [3] отмечено, что дифференциальные уравнения в частных производных смешанного типа стали объектами систематических исследований с конца сороковых годов прошлого века.
ir,(p,z) |r=l =4/( I (р-ф+ТГ
/7=1 k=
где коэффициенты ряда (1.17) определяются по формулам

— f I i//(tp,z)hs( yvJ оо
Далее будем считать, что граничная функция y/{cp,z) е С2 а, и выполнено условие ^( Тогда равенство (1.18) можно преобразовать к виду
СТ..,
пк (кж)
о V а
|1 ^y/'L((p,z)s'mkzdz hsn(cp) dcp. (1-19)
Представление (1-19) дает «хорошее» условие убывания стпк по к (! ^пк I— )•
Далее оценим порядок убывания (малости) коэффициентов (1.19) по индексу п .
Для этого используем результаты работы [31], в которой было получено следующее интегральное представление для функций И!п(ср)
и, ч 2 • / 14 (-V2) Sin^ f t Д1-02 1 „
(^) = -sm(«-i> + —гг^~ ~ h—;------------------ïdt О-20)
п TT2J cosf {l + 2tcos

С учетом представления (1.20) имеем