Разрешимость обратных задач для гиперболических уравнений

• Автор: Павлов, Степан Степанович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 84 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1. Обратные задачи для гиперболических уравнений с точечными
УСЛОВИЯМИ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ
§1.1 Исследование обратной задачи восстановления плотностей
источников одномерного волнового уравнения
§1.2 Разрешимость обратной задачи восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении ПРИ п
§1.3 Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении при п >
2. Обратные задачи для гиперболических уравнений с интегральным УСЛОВИЕМ переопределения
§2.1 Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным
переопределением
§2.2 Нелинейные обратные задачи для многомерных гиперболических уравнений с интегральным переопределением
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины).
Обратные задачи представляют собой активно развивающуюся область современной математики. Интенсивное исследование обратных задач в значительной степени обусловлено многочисленными проблемами практики, требующими для своего решения разработки математических методов обработки и интерпретации результатов наблюдений. Цель многочисленных экспериментов и наблюдений, проводимых в различных областях человеческой деятельности, состоит в изучении свойств объектов или процессов, интересующих исследователей. При этом распространенными являются ситуации, в которых объект или процесс либо принципиально недоступны для непосредственного наблюдения, либо оно связано с большими затратами. Характерной чертой возникающих при этом задач интерпретации результатов эксперимента является то, что наблюдатель должен сделать заключение о свойствах объекта или процесса по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. Таким образом, речь идет о задачах, в которых требуется определить причины, если известны полученные в результате наблюдений следствия. Задачи такого типа естественно назвать обратными.
Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности таких, как геофизика, биология, экология, медицина и т.д.
Интерес к обратным задачам возник в первой половине двадцатого века, в частности, когда в геофизике был поставлен вопрос: нельзя ли, располагая картиной движения фронтов сейсмических волн по поверхности Земли от различных землетрясений, найти скорость распространения сейсмических волн внутри Земли? Итогом его исследования стала постановка одномерной обратной кинематической задачи сейсмики, впервые рассмотренная немецкими геофизиками Г. Герглотцем и Е. Вихертом (1905-1907 гг.).
С гравитационной и магнитной разведкой связано возникновение другой обратной задачи - теории потенциала. Общая ее формулировка заключается в следующем: вне некоторой области, ограниченной поверхностью 5, задан

потенциал, порожденный телом, лежащим внутри S, требуется найти форму и плотность тела. Первая теорема единственности для обратной задачи теории потенциала была доказана С.П. Новиковым в 1938 г. В дальнейшем исследованием обратных задач теории потенциала в различных постановках занимались А.Н. Тихонов, В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, В.Н. Страхов, А.И. Прилепко, A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич, В.И. Васильев - см. [64], [65], [20], [25], [92], [102] и их ученики. В настоящее время теория обратной задачи потенциала существенно развита, разработаны и численные методы решения этих задач.
Впервые был рассмотрен ряд математических постановок обратных задач теории распространения упругих волн в 1962 году А. С. Алексеевым [36].
Кроме того, активно исследовались обратные задачи электромагнитной разведки, квантовой теории рассеяния, электропроводимости, теплопроводности и многие другие. И в настоящее время интерес к обратным задачам не ослабевает, а наоборот, постоянно появляются новые постановки обратных задач и, соответственно, новые результаты-об их разрешимости. Сейчас уже почти невозможно подсчитать число научных публикаций, в которых в той или иной мере исследуются обратные задачи. Постоянно появляются новые подходы, понятия, теоремы.
Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением 'требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Линейные и нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, Ю. Е. Аниконова, Б. А. Бубнова, С. И. Кабанихина, А. И. Прилепко, А. И. Ко-жанова, A. X. Амирова, Е. Г. Саватеева, Е. С. Глушковой, Д. И. Глушковой, Т. Ж. Елдесбаева, A. Lorenzi, А. М. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Jamomoto - см. монографии [1] — [5], [10], [15] - [17], [20], [21], [25], [27], [49], [50], [63], [69], [95] —[100] и имеющуюся в них библиографию, а также ста-

2. Обратные задачи для гиперболических уравнений с интегральным условием переопределения
§2.1 Обратная задача восстановления внешнего воздействия в многомерном волновом уравнении с интегральным переопределением
Пусть Д есть ограниченная область пространства К” (О с К”) с гладкой границей Г, Г = сЮ, 5 = Гх (0,2), ф есть цилиндр Д х (0,Т). Далее, пусть /(жД), ф{ф), д(жД), гд)(ж), щ(ж) суть заданные функции, определенные при ж £ Д, £ € [О, Т].
Обратная задача 2.1: найти функции и(жД) и д{Ь), связанные в уравнением
ии - Аи = /(жД)дД) +д(жД), (2-1.1)
выполнении для функции и(х, £) начальных условий
иь=о = щ(х), щг=о = щ(х), х £0., (2.1.2)
граничного условия
п|5 = О,
а также условия переопределения:
J К (ж, £)и( ж, £)б?ж = ф Д) ц
В изучаемой обратной задаче 2.1 условия (2.1.2) и (2.1.3) суть условия
обычной первой начально-краевой задачи, условие (2.1.4) есть условие пере-
определение; наличие этого условия объясняется тем, что помимо неизвестного решения и(жД) требуется найти также еще неизвестную функцию г/Д). Определим нужные пространства:
Н = М®Д): ДжД) £ Ьоо(0,Т; И(Д) П ТУДД)),
гДжД) € Ьоо(0,Т; ТУДД)) П Х/2(0, СГ; (Г2)), ий(жД) £ Д>(<Э)},

(2.1.3)
(2.1.4)