Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией

• Автор: Побережный, Владимир Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с.

1 Фуксовы и регулярные системы
1.1 Монодромия
1.2 Регулярность
1.3 Пространство решений системы с регулярной особой точкой
1.4 Резонансные особые точки
2 Изомонодромные деформации фуксовых систем
2.1 Пфаффовы системы
2.2 Пространство решений изомонодромного семейства
2.3 Шлезингеровские деформации
2.4 Нешлезингеровские деформации
2.5 Тэта-дивизор и тау-функция изомонодромной деформации
3 Калибровочные преобразования фуксовых систем и их изомо-нодромных семейств
3.1 Повышение нормирования
3.2 Понижение нормирования
3.3 Калибровки, сохраняющие фуксов вид системы
3.4 Калибровочные преобразования изомонодромных семейств
4 Изомонодромные деформации систем с коммутативной моно-дромией
4.1 Коммутативные системы
4.2 Нерезонансные системы
4.3 Построение резонансных изомонодромных семейств
4.4 Алгебраические свойства изомонодромных деформаций систем
с коммутативной монодромией
4.5 Пример резонансного изомонодромного семейства
5 Заключение
6 Литература

Изомонодромные деформации систем дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами являются важной и активно разрабатываемой областью современной науки. При исследованиях в данном направлении широко используются методы таких наук, как дифференциальная и симплектическая геометрия, теоретическая физика, аналитическая теория дифференциальных уравнений, теория интегрируемых систем, теории специальных функций, абелевых интегралов и фробениусовых многообразий. В свою очередь, полученные результаты имеют приложения ко многим вопросам в указанных и во многих смежных областях науки.
Исторически, как и многие понятия и вопросы в теории дифференциальных уравнений, особенно в аналитической их теории, изомонодромные деформации впервые возникли в работах Б.Римана. Формулируя задачу, ставшую позже известной как проблема Римана, о существовании фуксовых уравнений с заданной монодромией, Б.Риман обратил внимание и на сохраняющие монодромию деформации таких уравнений. Позже выяснилось, что существует глубокая связь между изомонодром-ными деформациями и такими известными задачами того времени, как проблема Римана-Гильберта и задача о приведении к биркгофовой стандартной форме. Позднее, в начале двадцатого века, важные результаты, относящиеся к изомонодром-ным деформациям, были получены Л.Шлезингером, нашедшим простейший, в некотором смысле естественный, вид изомоно-дромных деформаций фуксовых систем, то есть систем с полюсами первого порядка. Л.Шлезингер также показал интегрируемость полученных им деформационных уравнений. Кроме этого Л.Шлезингером было найдено некоторое дискретное семейство калибровочных преобразований, сохраняющих монодромию системы. В тот же период П.Пенлеве и его ученики занимались за-

дачей описания дифференциальных уравнений второго порядка, не имеющих критических подвижных особых точек. Позднее такое свойство уравнения стали называть свойством Пенлеве. В настоящее время с ним связывают также имя С.Ковалевской. В своей работе об интегрировании волчка она обратила внимание на то, что данное свойство выполняется лишь для трех специальных наборов параметров задачи. В первых двух случаях решения были найдены в работах Л.Эйлера и Ж.Лагранжа. В третьем случае ей удалось найти новые решения, воспользовавшись, таким образом, преимуществом того, что уравнение не имеет критических подвижных особых точек. Помимо уже известных и тривиальных П.Пенлеве и его учениками было найдено шесть новых уравнений, так называемых уравнений Пенлеве: Р] — Ру1. Данные уравнения оказались исключительно важными и часто встречаемыми в различных областях науки. Все эти уравнения, как было установлено позднее, являются редукциями шестого уравнения Пенлеве - Ру1, которое, в свою очередь, оказалось эквивалентным уравнению шлезингеровской изомонодромной деформации фуксовой системы ранга два с четырьмя особыми точками. В общем случае решениями уравнений Пенлеве являются новые трансцендентные функции, имеющие большую важность для различных приложений и многих теоретических вопросов. В настоящее время активно исследуются различные асимптотические, алгебраические, геометрические и прочие свойства решений уравнений Пенлеве.
Существующая связь между изомонодромностью и свойством Пенлеве является крайне глубокой и фундаментальной. Оба эти свойства, в свою очередь, связаны с понятием интегрируемости, как оно трактуется в теории интегрируемых систем. Например, общие уравнения изомонодромных деформаций, описанные М.Джимбо, Т.Мива и К.Уено обладают свойством Пенлеве, а в теории интегрируемых систем известен также тест Пенлеве, связанный с проверкой уравнения на возможность его интегри-

является изомонодромным и задается формой
V а
. 1 0 d(z+a) і ( 6 6а d2 / 2 3 + За
1 0j+(° -і ;-+va 2 j
+ , - -з + За d{z+1) | / 0 0
2 j г+і ^ ( __|а_ о ) *+«'
(63)
Данная форма является нормализованной, но нешлезингеров-ской, она имеет вид со = и>8 + шгєз.
Исследование изомонодромных деформаций резонансных систем представляет собой основной предмет данной диссертации. Работа с изомонодромными деформациями затрудняется тем, что построение деформации равносильно решению некоторого уравнения типа Пенлеве, а такие уравнения в общем случае неразрешимы в элементарных функциях. Нами будут построены некоторые калибровочные преобразования изомонодромных семейств, позволяющие сводить исследование резонансных семейств к более простому нерезонансному случаю. Этой технике посвящены главы 3,4.
2.5 Тэта-дивизор и тау-функция изомонодромной деформации
Рассмотрим систему фуксовых дифференциальных уравнений
dy Ві
(64>
і=і
на сфере Римана, z Є СР1. Данную систему можно представить в пфаффовом виде
dy = шу. (65)
Здесь и) - матричная дифференциальная 1-форма, голоморфная на СР1 (а] ап}, имеющая в точках ai полюса первого порядка. По условию Фробениуса такая пфаффова система будет