Некоторые двумерные сингулярные интегральные уравнения и их приложения к дифференциальным уравнениям

• Автор: Худжаназарова, Гулшод Худжаназаровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 91 с.

ГЛАВА 1. ДВУМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ

1 Описание пространств функций и некоторые вспомогательные сведения

1.1 Описание используемых пространств функций

1.2 Нетеровы операторы и основные их свойства

2 Нетеровость и индекс одного класса интегральных уравнений с особенностями

2.1 Общая теорема о нетеровости и индексе уравнения 2

2.2 Модельное интегральное уравнение

3 Нетеровость и индекс сингулярных интегральных уравнений

с четной характеристикой

3.1 Общая теорема о нетеровости и индексе уравнения (3.1)

3.2 Модельное интегральное уравнение

ГЛАВА 2.ТЕОРИЯ НЕТЕРА И ИНДЕКС ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЧЕТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ И КОНЕЧНОЙ СУММОЙ ОПЕРАТОРОВ ТИПА БЕРГМАНА
4 Алгебра операторов Л4
4.1 Некоторые определения и предложения об алгебре операторов
и об операторах локального типа
4.2 Некоторые сведения о композиции операторов Бт и Вт

4.3 Алгебра операторов М из (4.1)
4.4 Нетеровость оператора, обобщающего оператор М
5 Теория нетера двумерного сингулярного интегрального оператора А
ГЛАВА 3. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
6 Задача Дирихле для эллиптических систем двух уравнений
четвертого порядка на плоскости
7 Задача Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными коэффициентами „
д ш
7.1 Случай системы с разрывом при производной

7.2 Случай системы с разрывом при производной -г-г

Введение (Обзор литературы. Основные результаты работы)
Известно, что наиболее полные и тонкие результаты в теории дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными были получены на основе применения методов теории сингулярных интегральных уравнений.
Рассматриваемые в работе двумерные сингулярные интегральные уравнения соприкасаются с направлением, связанным с новым классом интегральных уравнений, введенных в рассмотрение Л.Г.Михайловым [56]-[61] при изучении дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами. Речь идет о многомерных интегральных уравнениях с ядрами однородными порядка (—гг), удовлетворяющих определенному условию суммируемости.
С другой стороны, исследуемые интегральные уравнения примыкают к направлению, связанному с теорией многомерных сингулярных интегральных операторов (С. Г. Михлин [62)-[64], А. Кальдерон и А. Зигмунд [75]-[77], И. Б. Симоненко [67],[68], А. Джураев [38]-[43], Р. В. Дудучава [44],[45], Н. Л. Василевский [9]-[12], И. И. Комяк [48]-[52], Б. М. Бильман и Г. Джан-гибеков [5]-[7], Г. Джангибеков [18]-[32]), в частности, они включают в себе двумерные сингулярные операторы, которые, как показано в известной монографии И. Н. Векуа [13], а также в монографии А. Джураева [39] и в работе Б. Боярского [8], играют важную роль в теории краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. При этом следует особо отметить, что в работе [38] впервые обнаружен эффект влияния границы области на нетеровость и индекс двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области.
Предлагаемая работа состоит из трех глав со сквозной нумерацией разделов.
В первой главе работы в серии банаховых пространств функций изучаются некоторые классы двумерных сингулярных интегральных уравнений по ограниченной области, содержащих в ядре однородные функции, удовлетворяющие условию суммируемости. Получены необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислен индекс указанных уравнений.

*А — al + dS—ffiK m
+D(-v+ vnK)B-n + (fini + H-nK)Bn + (ô-nI + 5nK)B-nSm+ (4.2)
n=і
"H S-mB-n^nl + 7-1%K) 4" 'rnB-mB-nSm + T,
где здесь a(z), d(z), v-n(z), vn{z), pn(z)Jji-n(z),Sn(z),S-n(z),7-n(z),7n(z), rn(z) (n = 1,2 m) - непрерывные в D функции, T Є J, a через J обозів ' начен идеал содержащихся в 7Z вполне непрерывных операторов.
Лемма 4.5. Оператор А, заданный формулой (4-1), является элементом алгебры 71, и обратно, всякий оператор из алгебры 71, представим в виде
(4.1).
Доказательство. Прежде всего, воспользовавшись результатами лемм
(4.1)-(4.4), можно проверить, что произведение двух операторов Мі и М2 из (4.1) дает оператор вида А и отсюда ясно, что если задан оператор А, то, задавая М, мы однозначно найдем коэффициенты оператора МгОчевидно, что для доказательства второй части леммы достаточно по--ф казать, что сумма и произведение операторов вида (4.2) имеют такое же
представление. В самом деле, если
AU) = aU)I + d{j)S_mK+

+ £[(*£>/ + ^]К)В„П + (/#>/ + р{Цк)Вп + (6{1]п1 + S^K)B.nSm+
n-l
+ S-mB.n(^I + 7-l К) + T (4.3)
то А® + имеет такой же вид. Что касается композиции операторов А® и Д<2) , то ее вычисление требует довольно кропотливой работы и опи-, рается на леммы (4.1)-(4.4). В результате получим, что • А^ = А,
гЬ. причем коэффициенты оператора А находятся однозначно по следующим

ь,