Некоторые вопросы теории неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений

• Автор: Бернштейн, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с.

^ 1. Предварительные сведения

1.1. Показатели Ляпунова

1.2. Экспоненциальная дихотомия

1.3. Описание класса Ь$РР

1.4. Преобразования линейных систем

1.5. Почти приводимые системы

2. Асимптотическое поведение решений

неоднородных систем

2.1. О существовании решений с полиномиальным ростом

2.2. Общий случай

3. Решение основной задачи

3.1. Классы ЬРР и Ь0РР
3.2. Другое доказательство включения
Ь0РР С ЬРР
ЧР 3.3. Классы ЬР и ЬоР
4. Некоторые достаточные условия
принадлежности классам Ь0Р и ЬР
4.1. Еще один критерий экспоненциальной
дихотомии
4.2. Принадлежность классам ЬоР и ЬР
4.3. Диагональные системы
5. Грубые свойства линейных неоднородных систем, обладающих решением с
малым ростом
5.1. Одномерные системы
5.2. Многомерные системы
Список литературы

Важное место в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимает изучение линейных систем — как однородных, так и неоднородных, поскольку к их рассмотрению сводится ряд задач, связанных с нелинейными системами.
Во многих задачах, посвященных изучению свойств решений систем дифференциальных уравнений, используется понятие характеристических показателей, введенное А. М. Ляпуновым [7].
Одним из направлений исследования линейных систем, начало которому положил О. Перрон [14], является изучение связи между асимптотическим поведением решений однородной и неоднородной систем, в частности, между характеристическими показателями этих решений. В настоящей диссертации получен ряд результатов, связанных с этой областью исследований.
Через Мп обозначается метрическое пространство, точками которого являются системы вида
х = A(t)x, х е R”, t е R+, (0.1)
с непрерывными и ограниченными на полупрямой М+ = [0; +оо)
оператор-функциями А(-): R+ —> EndR”, а метрика задается формулой
р(А, В) = sup || B(t) - A(t) ||, A, Be М
t£R+

||Л|| = sup Ах.
х
Наряду с системой (0.1) будем также рассматривать неоднородные системы
х = A(t)x + h(t), (0.2)
где вектор-функция h(t) предполагается непрерывной на R+.
В докладе [10] профессором В. М. Миллионщиковым были введены следующие четыре класса линейных систем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу ЬВГ если для всякого е > 0 найдется (зависящее от ё) линейное преобразование х = Р (£)?/, преобразующее ее в некоторую (зависящую от е) экспоненциально дихотомическую систему и такое, что показатель Ляпунова функции ||Р(£)|| + ||£-1(£)|| меньше е.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу ЬоБп, если найдется линейное преобразование х = = Ь(р)у, преобразующее ее в некоторую экспоненциально дихотомическую систему и такое, что показатель Ляпунова функции \Щ\ + 1|£_1(*)Н равен 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу РРРР, если для всякого е > 0 существует 5 > 0, такое, что для всякой непрерывной вектор-функции И(-): М+ —> Жп, показатель Ляпунова которой меньше 5, у системы (0.2) найдется решение с показателем, меньшим е.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу ЬоРБп, если для любой непрерывной вектор-функции /г(-): —► Мп, показатель Ляпунова которой неположителен, у системы (0.2) найдется решение с неположительным показателем.
В работе И. Н. Сергеева [12] доказано, что множество правильных систем является подмножеством класса РоЛРР, а А. С. Фурсовым [13] установлен критерий принадлежности системы (0.1) классу ЛоРЛ”, то есть, тем самым, полностью решена задача, поставленная в [и].
Доказательство. Пусть система
х = A(t)x (3.11)
принадлежит классу LqPD, но не принадлежит LPD. Это по определению означает, что для всякой функции h(t), показатель Ляпунова которой неположителен, существует решение x(t) системы
х = A(t)x + h(t), (3.12)
показатель Ляпунова которого также неположителен (принадлежность классу LqPD). Одновременно с этим справедливо следующее: существует £о такое, что для всякого 5 > 0 существует такая функция hs(t), показатель Ляпунова которой меньше 6, что любое решение системы
х = A(t)x + hs{t) (3.13)
имеет показатель ^ So (отрицание принадлежности классу LPD).
Рассмотрим последовательность 8т = т € N. Тогда каждому значению 5т соответствует некоторая функция hm{t), x[hm(t) < такая, что всякое решение системы (3.13) имеет показатель > SoПостроим по функциям hm(t) функцию h(t) следующим образом:
h{t) = hm(t) при t е [Тт-и Тт], где То = 0, а Тт находится так: для любого решения уравнения
х = A(t)x 4- hm(t)
существует такой момент tm Е (Tm_i, Tm), что
j- • In |x(im)| ^ s0. (3.14)