Некоторые вопросы акустики пористых сред

• Автор: Космодемьянский, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с. : ил.

Глава 1. Проблема двойной пористости
1.1. Постановка задачи
1.2. Спектральный анализ
1.3. Результаты
Глава 2. Стационарная задача фильтрации в пористой среде
Глава 3. Проблема колебаний суспензии из двух жидкостей в
ограниченном сосуде
3.1. Постановка задачи
3.2. Спектральный анализ
3.3. Результаты
Глава 4. Малые колебания комбинированной среды, состоящей из вязкой сжимаемой жидкости и упругого каркаса (Закон Био)
4.1. История вопроса
4.2. Постановка задачи
4.3. Предельные теоремы
4.4. Слабая двухмасштабная сходимость
4.5. Задача на ячейке периодичности
4.6. Предельная система уравнений
4.7. Исключение относительного перемещения из системы
4.8. Спектральный анализ
4.9. Результаты

Глава 5. Сильная двухмасштабная сходимость
5.1. Определение и основные свойства
5.2. Шаг 1
5.3. Шаг 2
5.4. Результаты
Заключение
Литература

Задачам, связанным с построением так называемых "эффективных" или "усредненных" характеристик сильнонеоднородных сред, посвящено очень большое количество работ как российских, так и зарубежных авторов. В их числе представляют интерес работы как российских ([7], [37], монографии [28], [43] и ряд других), так и западных (например, [10], [13], [18], [21], [16]). Среди множества рассматриваемых моделей неоднородных сред можно выделить модели так называемых "комбинированных сред", представляющих собой смесь из двух фаз с различными механическими свойствами, так, например, каркас из упругого материала и сжимаемая (или несжимаемая) вязкая жидкость. Для построения "эффективных" или "усредненных" моделей часто используется предположение о периодичности структуры включений материала одной фазы в другую. Такое предположение упрощает задачу о построении упомянутых "эффективных" или "усредненных" моделей. Под усредненными моделями понимаются такие краевые задачи для уравнений или систем с постоянными (или относительно медленно меняющимися) "эффективными" характеристиками, что решения краевых задач для исходных двухфазных моделей сходятся (в некотором смысле) к решению соответствующих уравнений для "усредненной" модели, когда период е рассматриваемой периодической структуры стремится к нулю. При этом в ряде случаев сходимости в классическом смысле (например, в пространстве Ь2) может и не быть. Для упомянутой выше задачи о среде "упругий каркас - сжимаемая жидкость" сходимость решений будет сильной

переменных до одной, получим из (63)-(65) систему уравнений на функции u(x,t), p(x,t)
f pu + psD(t) *{}-p' - psiï) + paD{0) (/ -p' - psÜ) = Qu" - Ap' + f, Bp + d(t) * (/ -p' - psü)' + Au' = 0,

D(t) = (D(t))u ; d(t) = [ D(T)dr = £ ^mkt,
Mk = (ф!1*/ , rrik = —k, с начальными условиями u(x, 0)
' / QnB
û(x,0) = 0, x € [0,1] и с краевыми условиями u(0,£) = ù(0,t)
u( 1, t) = ù(l, t) = p'(0, t) = p'(l, t) = 0, t € (0, +oo)
Для исследования спектральных свойств этой задачи положим
/ = 0. Краевые условия Дирихле на функцию и непосредственно
вытекают из условий (65). Условие Неймана на функцию р можно

получить из уравнения (18) и условий u|an = 0, Y1 • Vkloo. = 0 (из

которых второе - условие "нспротекания" жидкости через границ}' дП).
Введем обозначение —p'(x,t) — psü(x,t) = z(x,t). Тогда г(0,£) = z(l,t) = 0, t е (0,+оо). Продифференцируем второе уравнение по х. Получим
Bp' + d(t) * z" + Ли" = 0.
Используя равенство p' = —z — psü, получим
—Bz — Вpsü + d(t) * г" + Au" = 0, тохда система уравнений для функций u(x,t),z(x,t) примет вид
(67)
p ü + psD(t) * z + psD(0)z = Qu" + Az + Apsü, —Bz — Bpsü + d(t) * z" + Au" = 0.
Так как краевые условия для функций и(х, £), г(х, £) нулевые, будем искать представления для функций и(х, £), г{х, £), разлагая их в ряд