Развитие теории линейных интегральных уравнений с периодическими и почти периодическими ядрами

• Автор: Пуляев, Василий Федорович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 313 с.

Содержание
Введение

Обозначения и определения

Глава I. Исследование взаимосвязи нетеровости непрерывных линейных операторов и их сужений
§1.1. Взаимосвязь п-нормальности и й-нормальности непрерывных линейных операторов и их сужений

§1.2. 0 допустимости пар пространств для линейных интегральных операторов

§1.3. Взаимосвязь нетеровости оператора 1-К и его

сужений
Глава II.Линейные интегральные уравнения с периодическими ядрами : ограниченные и почти периодические решения
§2.1. Периодические ядра. Алгебры интегральных операторов и операторнозначных функций
§2.2. Однородные интегральные уравнения ( структура решений )
§2.3. Неоднородные интегральные уравнения ( регулярный
случай )
§2.4. Неоднородные интегральные уравнения (нерегулярный случай), Интегро-дифференциальные уравнения
Глава III.Степенные и экспоненциальные решения линейных
интегральных уравнений с периодическими ядрами
§3.1.Степенные решения однородных линейных интегральных уравнений

§3.2.Степенные решения неоднородный линейных интегральных уравнений
§3.3. Экспоненциальные решения линейных интегральных
уравнений
Глава IV. Линейные интегральные и интегро-дифференциаль-
ные уравнения с почти периодическими ядрами
§4.1. Интегральные операторы с почти периодическими яд-

рами и условия обратимости оператора 1-К
§4.2. Эквивалентность п(Ю--нормальности и обратимости
оператора 1-К
§4.3. Линейные интегральные уравнения с почти периодическими ядрами на полуоси. Интегро-дифференциальные уравнения
Глава V. Взаимосвязь устойчивости и допустимости для линейных уравнений типа Вольтерра
§5.1. Устойчивость и допустимость для вольтерровых
уравнений
§5.2. Устойчивость линейных интегральных уравнений
Вольтерра
§5.3. Устойчивость линейных интегральных уравнений
Вольтерра с периодическими ядрами
§5.4. Устойчивость линейных интегро-дифференциальных
уравнений с периодическими матрицами
Литература
Участие в конференциях (тезисы докладов по теме диссертации)

Введение
Диссертационная работа посвящена разработке основ теории линейных интегральных уравнений с периодическими и почти перио-ческими ядрами.
Рассматриваются следующие вопросы: разрешимость в пространстве ограниченных функций и его различных подпространствах, а также в пространствах функций степенного и экспоненциального роста; анализ взаимосвязи п-нормальности и Анормальности при переходе от пространства к подпространству, и наоборот; структура решений однородного уравнения и интегральное представление решений неоднородного; устойчивость и асимптотическое поведение решений.
Полученные при этом результаты в ряде случаев приводят к новым результатам даже применительно к почти периодическим системам линейных дифференциальных уравнений и интегральным уравнениям с ядрами, зависящими от разности.
Необходимость изучения интегральных уравнений с периодическими ядрами вызвана следующими причинами.
Указанные ядра являются естественным обобщением ядер, зависящих от разности аргументов, а переход от интегральных уравнений с разностными ядрами к уравнениям с периодическими и почти периодическими ядрами соответствует аналогичному переходу от линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными матрицами к системам с периодическими и почти периодическими матрицами.Как известно, последние обладают многочисленными глубокими свойствами и составляют один из содержательных разделов в теории дифференциальных уравнений. Поэтому интерес представляет изучение со-отствующей иерархии и в случае интегральных уравнений.

= zR+ dR , где zRe kerAQ , d^e 6Q. В силу конечномерности кєгА0 можно считать, что последовательность zR сходится к некоторому г € kerAQ. Оператор AQ : 6Q-* JmAQ непрерывна обратим, поэтому
последовательность -{с^ слабо сходится к нулю, так как =

=Aq fR. Таким образом, последовательность хп+ yR слабо сходится к z є kerAQ . А так как она Г-сходится к х , то х=г в силу тотальности Г, то есть х є kerAQ, Теорема доказана.
Следующий пример показывает,что если оператор А не является непрерывным относительно Г-сходимости , то при выполнении остальных условий утверждение теоремы 1.1.1 может не быть верным.
Пример 1.1.2. Положим X = XQ= C1Q(R1), Е = Cq(P1 ) © Р1 (1 )=
1 1 =аР (1), Г= і А: аР1 (1) —► аР1 (1), положив
Ах = x(t) - J exp(-|t|-|s|)x(s)ds для xeCgCR1)

и Ах = х(0)ехр(-|£|) для хеР (1). Оператор А непрерывен относительно сходимости по норме, но не является непрерывным относительно Г-сходимости, так как в противном случае при xReCQCR) Г
и X-.—1 имели бы : АО ) = Пт. Ах = 1- ехр(-|£|).

Решая уравнение с вырожденным ядром
x(t) - f exp (—111 — I s I )x(s )ds = f(t). х,/еС^(рЪ ,

находим, что kerAQ= ■{ c-exp(-|i|); сеС1 К

JmAQ = ■{ /€Cq(P1) : J exp(-|s| }/(s)ds = 0 }■ .

Следовательно сужение AQ: Cq{r) ) —► С^(Р1) нетерово и
аЫ0) = (S(AQ) = 1.