Применение аксиоматического метода для исследования автономных систем на плоскости

• Автор: Сугаипова, Лейла Супьяновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с. : ил.

I Свойства траекторных воронок

1. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД S.K. ZAREMBA И В.В. ФИЛИППОВА

2. СВЯЗЬ МЕЖДУ АКСИОМАТИКАМИ S.K. ZAREMBA И Е.А. БАРБАШИНА

3. СВОЙСТВА ТРАЕКТОРНЫХ ВОРОНОК

II Свойства траекторий на плоскости

1. ТРАЕКТОРНЫЕ ВОРОНКИ НА ПЛОСКОСТИ

2. ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ

III Строение окрестности особой точки

1. СЕКТОРЫ

2. СТРОЕНИЕ ОКРЕСТНОСТЕЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ И СТАЦИОНАРНОЙ ТОЧЕК

IV Индексы
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ИНДЕКСОВ
2. ОТЫСКАНИЕ ИНДЕКСОВ ОСОБЫХ ТОЧЕК

В теории динамических систем, намеченной Пуанкаре и получившей широкое развитие в работах Биркгофа, уже изучались свойства решений дифференциальных уравнений при условии единственности решений без рассмотрения самих уравнений. М. Бебутов [17] доказал существование локального сечения динамической системы в локально-компактном метрическом пространстве в окрестности нестационарной точки. В.В. Немыцкий рассматривал множества кривых с единственностью, но без дифференцируемости. Он перенес на них ([8, 9]) многие свойства траекторий автономных систем дифференциальных уравнений. В частности, он доказал, что на плоскости предельное множество ограниченной траектории, не содержащее стационарных точек, является простой замкнутой кривой. В [9] на негладкие динамические системы обобщаются результаты Бендиксона о поведении траекторий в окрестности изолированной стационарной точки. Такая окрестность содержит лишь конечное число гиперболических и эллиптических областей. Также доказаны теоремы о существовании параболической кривой, в частности, вся плоскость не может состоять только из эллиптических и гиперболических кривых.
А.Ф. Андреев и Ю.С. Богданов в [7] рассматривали динамические системы с единственностью и показали для них, что из существования и единственности решений в предположении локальной компактности следует непрерывная зависимость решений от начальных данных. Их доказательство верно и для негладких динамических систем.
Польский математик ЕагетЬа рассмотрел еще более общие множества кривых, для которых ни единственность, ни дифференцируемость не предполагаются [1]. Он сформулировал в виде четырех аксиом наиболее общие свойства решений дифференциальных уравнений и включений и на их основе предложил новый подход к изучению дифференциальных уравнений и включений. В [1] Zaremba исследовал свойства интегральной воронки У{А) в пространстве Дп+1, соответствующей компакту А. Для отрезка У(Аа, Ъ) воронки он доказал, в частности, полунепрерывную сверху зависимость У(А;а,Ь) от компакта А и компактность воронки У(А;а,Ь) в пространстве В.п+1. Здесь предполагается, что любое решение, график которого имеет общую точку с множеством А, может быть продолжено на весь рассматриваемый промежуток времени [а, 6]. 2агешЬа показал независимость свойства Кнезера (связность сечения воронки) от этих четырех аксиом. Юисгпу [10] рассматривал семейства кривых, расположенных в данном компактном множестве IV. В частности, он исследовал кривые, выходящие на границу, и указал условия, при которых воронка компактного множества компактна, связного — связна.
С иной точки зрения подошел к аксиоматической теории дифференциальных уравнений и включений Барабашин [3]. Он рассматривает обобщенную динамическую систему, заданную в полном метрическом пространстве с помощью своих множеств достижимости /(£, А). Для такой системы он определяет множество кривых, играющих роль, аналогичную траекториям динамической системы Биркгофа. Аксиоматики 2агетЬа и Барбашина определяют одни и те же траектории, что будет показано ниже (§2 гл. I). Это позволяет перенести свойства обобщенных динамических систем, доказанные в [3] и, в частности, относящиеся к минимальным множествам и рекуррентным траекториям, на множество кривых, удовлетворяющее аксиомам 2агетЬа.
В последние годы аксиоматическая теория дифференциальных уравнений и включений активно разрабатывалась в МГУ В.В. Филипповым ([2], [19-26]) и позволила получить ряд существенно новых результатов, в том числе существование решений для уравнений с особенностями, не удовлетворяющими условиям Каратеодори. Введенное В.В. Филипповым понятие ’’сходимости пространства решений” позволило исследовать зависимость решений от параметра и асимптотические свойства решений в окрестности стационарной точки или при < —> оо, включая теоремы

может быть лишь конечное число;
2) из а и Ъ выходят параболические дуги ад и Ьд £ У~(д, е) (или да и дб Е У+(д,е)). Согласно лемме 1.2, они являются продолжением друг друга. Ограниченная дугой аЪ траектории и дугой аЪ С С область называется ложной гиперболической областью [6]. На основании леммы
1.1, таких областей, проникающих на глубину > в, > 0, может быть лишь конечное число.
Из того факта, что гиперболических секторов может быть лишь конечное число следует, что входящих и выходящих воронок, разделяющих эти сектора, также может быть лишь конечное число.
Покажем, что в Ко(д,е) входящие и выходящие воронки чередуются. Допустим, что между соседними выходящими воронками б+(д,е) и ^-^(д, е) нет входящей воронки У~(д,е). Пусть П — область между 1^+(д, е), Р^+^д^) и дугой 7, лежащей на С между дугами и з+щ и не содержащей дуг типа й+ или й- (5^ — дуга типа й+ для воронки У{+(д, е)).
В области П возьмем последовательность точек сч -> д. Рассмотрим последовательность дуг траекторий £>*а,-, идущих от точек 6; Е 7 к а*. Из можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к параболической дуге Ъ*д траектории (лемма 1.3.7), точка Ъ* — предельная для 6*, Ъ*д Е У~(д,е). Противоречие. □
Будем в дальнейшем предполагать, что д — изолированная стационарная точка Z £ Асек{'И'О, Ко(д,е) С IV — ее окрестность, не содержащая других стационарных точек и замкнутых траекторий.
Теорема 2.3. Пусть д и Ко(д,е) — определенные выше тонка и окрестность. Тогда либо в К$(д, е) имеется хотя бы две полутраектории (или две дуги траектории), одна из которых примыкает к точке д при возрастании £, а другая — при убывании £, либо каждая полу траектория, зашедшая в некоторую окрестность точки д, примыкает к точке д при возрастании £ (или каждая — при убывании Ь).