Начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием

• Автор: Савкова, Ольга Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 129 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. Первая начально-краевая задача Геллерстедта для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием в областях эллиптичности и гиперболичности
§ 1. Постановка задачи Су
§ 2. Единственность решения задачи Су
§ 3. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения Трикоми
§ 4. Начально-краевая задача Неймана-Дирихле для дифференциально-разностного уравнения Трикоми
§ 5. Существование решения задачи Су
5.1. Вывод и исследование системы парных сингулярных интегральных уравнений
5.2. Регуляризация системы парных сингулярных интегральных уравнений
5.3. Определение неизвестных функций, входящих в правые части парных сингулярных интегральных уравнений
Глава II. Вторая начально-краевая задача Геллерстедта для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с кратным запаздыванием в неограниченной области
§ 6. Постановка задачи (?
§ 7. Единственность задачи

§ 8. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения Трикоми (продолжение § 3)
§ 9. Начально-краевая задача Неймана-Дирихле для диффе-
ренциально-разностного уравнения Трикоми в неограниченной области
§ 10. Существование решения задачи С?
10.1. Вывод сингулярного интегрального уравнения
10.2. Исследование сингулярного интегрального уравнения и его регуляризация
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Многие задачи гидродинамики, теории плазмы, безмоментной теории многослойных оболочек с кривизной переменного знака, магнитогидродинамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и другие проблемы естествознания описываются уравнениями смешанного типа. В настоящей диссертации впервые рассматривается принадлежащее к этому классу уравнение с кратным запаздыванием
L(u) = уи(х - (1 + Н(у))т, у), (0.1)
учитывающее тот факт, что изменения в физических системах зависят не только от их состояния на данный момент времени, но и от предыстории.
В уравнении (0.1) L(u) = уихх(х, у) + иуу(х, у) - оператор Трикоми, 0 < т = const, Н(£) - функция Хевисайда, и(х, у) - искомая функция.
Предметом исследования диссертации являются впервые поставленные нелокальные начально-краевые задачи для уравнения (0.1) в ограниченной и неограниченной смешанных областях, содержащих линию параболического вырождения.
Существенное отличие рассматриваемого уравнения смешанного типа от ранее изучавшихся состоит в том, что уравнение (0.1) является дифференциально-разностным, причем в областях эллиптичности и гиперболичности запаздывание по переменной х имеет разную величину.
Актуальность исследования следует из прикладных возможностей дифференциально-разностных уравнений эллиптико-гиперболического типа и из необходимости теоретического обоснования задач для таких уравнений с кратным запаздыванием.
Цель работы - исследование разрешимости новых нелокальных

д((-уГ/г + ПГ!Г - (г - Г?

xj.Fi
1 1 (х-гу- Ш-у)^ - И)3'2)
б’ 6’ ’ (х — г)2 — |((—уУ^2 + (—£)3'/2)5 Тогда (3.12) на основании (3.13) и (3.20) примет вид
ик(х>У) = ^{х,у)Н[х) +
йг, (3.20)
(3.21)
1^ X — 77т Т
+ 'УтН(х - тт) / 7/((ат - тг)2 - г]2)т~1 А{г],у)(1г], (х,у) £ 02к-

Далее будут использованы граничные условия (1.4) и (1.5), задающие значения искомой функции на левой или правой характеристике в соответствующих областях. Поэтому необходимо отдельно рассматривать решение (3.21) в областях Л2(2к) (2кт < х < (2к + 1)т) и Д^-ц)
((2к + 1)г < х < 2(к + 1)т, к — 0,1,..., п).
Пусть (х,у) 6 Д>2(2к), то есть 2кт < х < (2к + 1 )т. В этой области
решение (3.21) будет иметь вид:
и2к(х>у) = А{х, у)н(х) + (3-22)
2к х~т
+ X] {х - гпт) / Г)((х - тт)2 - г)2)т~1 А(77, у)с?р, (х, у) 6 £>2(2к)-
т= I {
Подставляя в (3.22) условие (1.4) получим рекурентное соотношение
А(х,а2к(х))Н(х)+ (3.23)
2к Х~Т
+ X] УтН(х - тт) / Г]{(х~тт)2-г!2)т~1А{г],а2к{х))(1г] = 'ф2к{х),

2кг < х < Щ~~т , где
ОС2к{х)
-(я - 2кг)

(3.24)