Полулинейные вырождающиеся эллиптические уравнения

• Автор: Нгуен Минь Чи
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ханой
• Количество страниц: 324 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ЧАСТЬ 1. БЕСКОНЕЧНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ

РЕШЕНИЙ

ГЛАВА 1. НЕРАВНОМЕРНО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ

РЕШЕНИЯ И НЕОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Основные определения, гипергеометрические

функции

1.2. Случай конечного вырождения

1.3. Случай бесконечного вырождения

ГЛАВА 2. ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ
ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2.1. Вспомогательные утверждения
2.2. Полулинейное уравнение типа Хёрмандера
2.3. Полулинейные гипоэллиптические уравнения
высшего порядка
2.4. Полулинейное уравнение типа Джилиоли-Трева
2.5. Уравнение с бесконечным вырождением
ЧАСТЬ 2. АНАЛИТИЧНОСТЬ РЕШЕНИЙ
ГЛАВА 3. НОВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО АНАЛИТИЧНОСТИ И РЕГУЛЯРНОСТИ ПО ЖЕВРЕЮ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Леммы Фридмана
3.2. Пространство Гёльдера с весом
3.3. Оценки Дуглиса-Ниренберга
3.4. Новый аргумент в доказательстве аналитичности
и регулярности по Жеврею решений

ГЛАВА 4. АНАЛИТИЧНОСТЬ И РЕГУЛЯРНОСТЬ ПО ЖЕВРЕЮ РЕШЕНИЙ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА МИЗОХАТЫ
4.1. Фундаментальное решение и формула
представления
4.2. Бесконечная дифференцируемость решений
4.3. Аналитичность и регулярность по Жеврею
ГЛАВА 5. АНАЛИТИЧНОСТЬ И РЕГУЛЯРНОСТЬ ПО
ЖЕВРЕЮ РЕШЕНИЙ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ДЖИЛИОЛИ-ТРЕВА
5.1. Модельное уравнение типа Грушина
на плоскости
5.2. Уравнение типа Джилиоли-Трева
ГЛАВА 6. АНАЛИТИЧНОСТЬ И РЕГУЛЯРНОСТЬ ПО
ЖЕВРЕЮ РЕШЕНИЙ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ КОНА-ЛАПЛАСА НА
ГРУППЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА
6.1. Полулинейное уравнение Кона-Лапласа
6.2. Фундаментальное решение оператора
Кона-Лапласа
6.3. Регулярность по Жеврею решений
ЧАСТЬ 3. ГЛОБАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ
ГЛАВА 7. СУШЕСТВОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
7.1. Теоремы вложения типа Соболева
7.2. Теоремы об существовании решений
ГЛАВА 8. НЕСУШЕСТВОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫХ РЕ-
ШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
8.1. Обобщённые тождества Похожаева и теоремы
об несуществовании решений
8.2. Гладкость решений краевой задачи вблизи
границы
ЛИТЕРАТУРА
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
36 1. НЕГЛЛДКОСТЬ РЕШЕНИИ В. Э. У.
е&Ъ&Чъу) = -с%Е%?(х,у) = о,
если
7 = 0, а = 0, /3 = 0, решение является постоянной,
7 = 0, с = к(Ь — а), а = 0, /3 - произвольное 0,
7 = 0, с = 0, а: - произвольное О, /3 = 0,
7 = 0, а = (к+1)(Ь_о) =: аь _ (*+1)С(ь-а) =: А,
7 = 1,а = 0, /3 = 0, решение является линейной функцией от ж,
7 = 1, с = (Ь — а)(А; + 1), а = 0, /3 - произвольное 0,
7 = 1, с = — (Ь — а), а - произвольное 0, /3 = 0,
-V _ 1 а _ с-рг-НХЬ-а) О с+Ь-а) а
7 — 1, а — (к+1)(4_0) «2, Р (*+1)(Ь-а) У2-
В случае резонанса а = Ь мы можем определить функцию '(х, У)
как предел у), у) при Ь —» а. Тогда имеем

и формальные уравнения С“Д£ц',1,0(а;,у) = 0, {х ,у) — 0.
Теорема 1.2.1. Пусть к - нечётное. Если Ива < 0 и ИеЬ > 0, то О <3к№$’°(х,у) = - б(х,у) =: А(Ж,У).
Й) ’мъ-а/ь,у) = о если Ке/3>-.
Ш) (ж> у) = 0 если К-еа >
дели Де а < 0, Р1е Ь < 0 и а Ь, то
ИИ) о£е'°(х,у) =0.
Если Ые а < 0, то
ЩИ) сасКТ°у) =°-
Доказателъство. 1) Прежде всего заметим, что если к нечётное и Иеа < 0,11еЬ > 0, то (Ъхк+1 — {к + 1)у)а и (—ахк+1 + 1(к + 1 )у)/3 6 С°°(К2(0,0)) для каждого а и /3. Введём следующие “полярные координаты”
пк+1 0к+1 к
х — р(вш 0)±+1, у = -СОввуАхйу = г|нш0| <=+1с1/><30.
А; +1 к +