Спектральные свойства сингулярных дифференциальных операторов четвертого порядка в вырожденном случае

• Автор: Сидельникова, Наталья Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 102 с.

Исследование асимптотического поведения
Глава 1 фундаментальной системы решений уравнения 1(у) = Ху при
х —» оо. Индексы дефекта оператора Ь0.
1.1 Введение
1.2 Преобразование уравнения (1.1)
1.3 Асимптотика решений уравнения (1.1) при х —> со
1.4 Исследование индексов дефекта оператора Ь0
1.5 Примеры
Исследование асимптотического поведения
Глава 2 фундаментальной системы решений уравнения 1у = Ху при
X є Г 9 X —> оо •
2.1. Введение
2.2. Асимптотика решений уравнений 1у- Ху, при
X є Г, X —> оо
Глава 3 Асимптотика функции Грина
3.1 Резольвента оператора Ь0
3.2 Асимптотические формулы для функций а5І (Л) при
X єГ ,Х
Глава 4 Асимптотическое распределение собственных значений
Литература

В теории сингулярных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с изучением спектральных свойств оператора в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Под спектральными свойствами понимают качественный и количественный характер спектра, индексы дефекта и спектральные асимптотики оператора.
Первые результаты, связанные с качественным исследованием спектра оператора Штурма-Лиувилля в зависимости от поведения потенциальной функции, были получены еще в начале XX века Г.Вейлем. Дальнейшие исследования в этом направлении были стимулированы развитием квантовой механики. Различные результаты как для оператора Штурма-Лиувилля, так и для обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка и операторов в частных производных были получены в работах [1-17, 20-22, 24-26]. Дадим необходимые в дальнейшем определения.
Известно, что (см. [11]) самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами четного порядка имеет следующий вид
где р] (х) ,у = 0,п - вещественные функции.
Квазипроизводные функции у, соответствующие выражению 1у определяются формулами
(1)

здесь к = ,п.
Из определения квазипроизводных непосредственно следует, что
/ м
1у = у
Мы будем считать, что выражение 1у имеет смысл для данной функции у, если все квазипроизводные у до (2л-1) -го порядка включительно существуют и абсолютно непрерывны в каждом конечном подынтервале [от,у!?] интервала (л, 6).
Рассмотрим линейное дифференциальное выражение
5Н_1)^2,,) + Х(_1)*[л.-ЛФ(*)]( х0£х<со, (2)
к=0 V
где рк(х)к = ,п - дважды непрерывно-дифференцируемые вещественные функции. Введем в рассмотрение пространство Ь2[х0,со), (х0 >0). Дифференциальное выражение 1у, рассматриваемое на всех допустимых функциях у, определяет в этом пространстве оператор. Рассмотрим сужение этого оператора на множество всех финитных достаточно гладких функций, обращающихся в нуль при х>Я,Я> 0 (выбор Я, вообще говоря, различен для различных у). Обозначим замыкание сужения указанного оператора через Ь0.
Оператор 10 называется минимальным оператором, порожденным дифференциальным выражением 1у в 12[х0,оо),[х0 >0).
Сопоставим уравнению
1.5. Примеры
Возьмем в (1.1) в качестве р(х) = сЬса', ц(х) = ДД, здесь с1, f, а,, Д - константы. И получим следующее уравнение
1’(у) = у^-2с1[ха'у'')+1кр'у = Лу,<х<ю, (1.103)
где Я -комплексный параметр,
с! ф0,/9*0,ах >0,Д >0,Д <2а, и Ф -(а, -I)2- (1.103')
Из условий (1.103') видно, что функции р(х) и д(х) удовлетворяют всем условиям 1)-8) пункта 1.1 данной главы. Следовательно для приведенных выше функций, удовлетворяющих условиям (1.103') справедливы при х -> +да асимптотические формулы теоремы 1.2.
Далее на основании этих формул сформулируем теорему об индексах дефекта минимального дифференциального оператора Ь'(), порожденного дифференциальным выражением 1'{у) аналогичную теореме 1.3.
Теорема 1.3' Пусть Д>|а,-2|. Тогда при (/>0, />0 или

0<а, <— ,с?<0,/>0 индекс дефекта оператора Ь'0 равен (2,2). В случае,

когда <^>0,/<0 или ог, >—, а?<0, /<0 оператор Д имеет индекс де
фекта (3,3). Если а, > —, с/<0, />0,то индекс дефекта оператора Дравен (4,4).