Нахождение статистических характеристик решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами

• Автор: Хребтова, Светлана Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 126 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Основные понятия
§1.1. Определение и свойства обобщенных функций
§1.2. Свертка обобщенных функций
§1.3. Преобразование Фурье и его свойства
§1.4. Вариационная производная
§1.5. Некоторые факты из теории вероятностей
§1.6. Простейшие формулы численного вариационного дифференцирования
Глава 2. Уравнение теплопроводности со случайными коэффициентами
§2.1. Постановка задачи
§2,2. Нахождение решения задач с вариационной производной
2.2.1. Уравнение первого порядка с вариационной производной
2.2.2. Уравнение третьего порядка с вариационной производной
§2.3. Математическое ожидание решения уравнения теплопроводности со
случайными коэффициентами
2.3.1. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания
2.3.2. Формула математического ожидания решения
задачи (2.1), (2.2)
§2.4. Частные случаи нахождения математического ожидания
2.4.1. Случай независимых процессов е и
2.4.2. е - гауссовский случайный процесс
2.4.3. е - равномерно распределенный случайный процесс

2.4.4. Случай распределения Лапласа
§2.5. Оценка погрешности при замене коэффициентов уравнения их средними значениями
§2.6. Вторая моментная функция решения уравнения теплопроводности
2.6.1. Вспомогательная задача Коши
2.6.2. Формула второй моментной функции
решения задачи (2.1), (2.2)
§2.7. Вторая смешанная функция решения уравнения теплопроводности..75 §2.8. Частные случаи нахождения второй моментной функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами
2.8.1. Случай независимых случайных процессов
2.8.2. Случай нормально распределенного случайного процесса
§2.9. Дисперсионная функция решения уравнения теплопроводности со
случайными коэффициентами
§2.10. Частные случаи нахождения дисперсионной функции
2.10.1. Случай независимых случайных процессов
2.10.2. £ - гауссовский случайный процесс
Глава 3. Моментные функции решений дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами
§3.1. Уравнение диффузии с пятью случайными коэффициентами
3.1.1. Постановка задачи
§3.2. Решение задач с вариационными производными
3.2.1. Линейное дифференциальное уравнение,первого порядка с вариационными производными
3.2.2. Линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с вариационными производными
§3.3. Математическое ожидание решения уравнения диффузии с пятью

случайными коэффициентами
3.3.1. Переход к детерминированной задаче
3.3.2. Вывод формулы для математического ожидания решения задачи (3.1), (3.2)
§3.4. Частные случаи нахождения первой моментной функции решения задачи (3.1), (3.2)
3.4.1. Случай независимых случайных процессов
3.4.2. Случай гауссовских случайных процессов
§3.5. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со случайными коэффициентами
3.5.1. Постановка задачи
3.5.2. Переход к детерминированной задаче
§3.6. Разностные методы отыскания математического ожидания
§3.7. Исследование на устойчивость
§3.8. Нахождение математического ожидания
решения задачи (3.20) - (3.22)
§3.9. Примеры вычисления математического ожидания
3.9.1. Случай нормально распределенного случайного процесса
Заключение
Список литературы

В £'(КП) введена еще одна операция обратного преобразования Фурье, которая обозначается через Е-1:
г-1[Л= И-»)
Справедливы следующие выражения:
Г-'[Г[/]] = /. ДГ-‘[/]] = /, (1.9)
/ € V = £'(Ж") [7, стр. 165; 73, стр.126,129,132].
Приведем некоторые свойства преобразования Фурье.
1)Дифференцирование. Если / е Ь'(Жп), то
£>“*[/] = [(г*)“/].
В частности, если / = 1, то ИаР[ 1] = (27г)”(—г)1“1.0а5(£).
2) Преобразование производной. Если / 6 Д(ЖП), то
г[в°а/] = НОаПЯ (1-ю)
В частности, если / = 5, то Р[Па8] = (—г£)“.Е[<5] = (—г£)а.
3) Преобразование сдвига. Если / € 1/(1Кп), то
[/(х-х0)] = е°’[/]. (1.11)
В частности, Р[5(х — ж0)] = ег,х° Полагая хо = 0, получим [<5(ж)] = 1.
4) Сдвиг преобразования. Если / 6 Д(МП), то
ГШ + £о) = Р[е°’х)/№- (1.12)
5) Преобразование свертки. Если / е 1/(Мп) ид- финитная обобщенная функция, тогда
Р[1 * д] = Р[д]Р[Л (1-13)
[7, стр.170-178; 73, стр.125, 135].