Исследование оценок и асимптотической устойчивости решений некоторых классов систем дифференциальных и разностных уравнений

• Автор: Бидерман, Вениамин Исаакович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 83 с.

Оглавление
Введение
1. Исследование оценок решений одного класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Двухсторонние оценки решений одного класса систем дифференциальных уравнений
2. Условия асимптотической устойчивости состояния равновесия одной экологической системы
2. Исследование оценок и асимптотической устойчивости решений некоторых классов систем разностных уравнений
1. Условия асимптотической устойчивости решений полуприводимых систем разностных уравнений
2. Оценки решений систем линейных и нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве, содержащем конус
3. О поведении характеристики решения системы разностных уравнений со стационарной линейной частью и скалярной нелинейностью
Литература

Введение
Актуальность темы. В настоящее время в работах по устойчивости решений дифференциальных уравнений параллельно с классическими первым и вторым методами Ляпунова разви ваются исследования по абсолютной устойчивости, устойчивости в больших системах, появились новые методы такие, как метод поворотов, аксиоматический метод, метод инноров. Среди работ, посвященных изучению этих вопросов, отметим книги Н.Н.Красовского [34], Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского ([6],[43]), И.Г.Малкина [37], Б.Ф.Былова, Р.Э.Винограда, Д.М.Гробмана и В.В.Немыцкого [7], Б.П.Демидовича [20], Ж.Массера и Ж.Шеффера [39], Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крейна [19], Ф. Хартмана [54], М.АЖрасносельского и П.П.Забрейко [26], В.А.Якубовича [57], А.А.Воронова (обзор) [8], Н.Руша, П.Абетса и М.Лалуа [46],
В.М.Матросова ((обзор) [40], [41]), Э.Джури (обзор) [23], А.Ф.Филиппова [51], В.В.Филиппова [52], статьи В.М.Миллионщикова [42], Н.А.Изо-бова [30] и др.
Современный этап развития теории устойчивости решений разностных уравнений связан с развитием классических идей в гильбертовом и банаховом пространствах, при этом параллельно применяются как методы, разработанные в теории устойчивости решений диф-фе ренциальных уравнений, так и собственные методы исследования. Исследования в области теории устойчивости решений разностных уравнений нашли отражение в работах У.На1та [59], Р.Беллмана и К.Кука [1], Я.В.Быкова и В.Г.Линенко [5], А.Д.Горбунова [17], В.А.Якубовича ([55],[56]), А.Халаная и Д.Векслера [53], В.Б.Демидовича ([21], [22]), А.А.Мартынюка [38], В.Е.Слюсарчука ([48],[49],[50]), Л.Д. Зам-

ковой ([27], [28]), А.М.Родионова [45], В.Б.Колмановского ([31],[32]),
А.В.Ласунского ([35], [36]), И.В.Гайшуна ([10],[11]) и др.
Диссертационная работа относится к исследованию задач, связанных с применением первого метода исследования задач об устойчивости и изучением асимптотических свойств решений дифференциальных и разностных уравнений.
Цель работы.
Цель исследования состоит в следующем:
— изучить асимптотику поведения решений некоторого класса систем нелинейных дифференциальных уравнений и их приложение к задачам математической биологии;
— найти оценки и получить достаточные условия асимптотической устойчивости решений систем линейных и нелинейных разностных уравнений.
Методы исследования. При получении результатов диссертационной работы были использованы следующие методы:
— теории обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений, связанные с идеями А.М.Ляпунова об устойчивости, а именно: оценки решений, приводимость систем;
— функциональных пространств с конусами, операторными уравне-
ниями и неравенствами;
— непрерывного и дискретного операционных исчислений.
Научная новизна. В диссертации получены новые результаты, относящиеся к получению оценок и нахождению достаточных уело-
Нетрудно проверить, что матрицы данной системы А{п) =
^ expp(n) chg(n) expp(n) sh q(n) ^
у expp(n) shg(n) ехрр(гг) chg(n) J коммутируют между собой.
Покажем, что матрицы

' 91 (п) 92 (гг) Х

92 (гг) 91 (гг)

91 (гг) = (гг + 1) cos

— (гг + 2) cos
n +1 4 ' ' п + 2’
*(П) = (п + 1) cos ^ + -1т) - („ + 2) cos (| + ^
являются логарифмами матриц А(п).
По определению (см., например, [20, с.59]) матрицы
S(n) = 1пА(п),

exp S(n) — А(п). Чтобы найти expS'(n), представим S(n) в виде
S (гг) = tfi (гг)
Известно (см. [47, с.281]), что
^1 o' Г° i
+ 92 (гг)
к 1 °>

91 (гг)
1 0 0

exp gi (гг) 0 0 expgi(n)