О бирациональных преобразованиях дифференциальных систем с полиномиальной правой частью

• Автор: Ковачев, Валерий Христов
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 154 c. : ил

В в е д е н и е

ГЛАВА I. ИНВАРИАНТЫ БИЛИНЕЙШИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЕ:

НЫХ СИСТЕМ

§ I. Билинейные преобразования и их свойства

§ 2. Вид инвариантов бирациональных преобразований

дифференциальных систем

§ 3. .Получение некоторых инвариантов билинейных

преобразований

§ 4. Применение полученных инвариантов для выделения дифференциальных систем, эквивалентных относительно билинейных преобразований
ГЛАВА II. РЕДУКЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПРИ ПОМОЩИ БИРАЦИОНАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 5. Редукция двумерных дифференциальных систем с полиномиальной правой частью при помощи билинейного преобразования
§ 6. Триангуляция двумерных дифференциальных систем при помощи билинейного преобразования
§ 7. Дробно-линейные преобразования и их свойства
§ 8. Триангуляция дифференциальных систем при помощи дробно-линейного преобразования
§ 9. Влияние бирациональных преобразований на асимптотические свойства дифференциальных систем 136 Литература

I. Краткий обзор по теории инвариантов дифференциальных систем. Настоящая диссертационная работа посвящена нахождению инвариантов двумерных автономных дифференциальных систем при однородных бирациональных преобразованиях и редукции этих систем при помощи билинейных и дробно-линейных преобразований фазовых переменных.
Алгебраическая теория инвариантов зародилась в Англии в середине прошлого столетия. Многие фундаментальные проблемы теории были решены в 90-х годах в работах Д. Гильберта II]. Классическая теория инвариантов изложена в книгах Г. Вейля [2], Дк. Грэйса и А. Юнга [3], Г. Б. Гуревича 14], И. Шура [б] и других авторов. Обзор работ по этой теории: и>обширная библиография даны В. Ф. Мейером £б] и Р. Вейтценбёком [7]. В последнее время в связи с применением теории инвариантов в самых разнообразных областях к ней вновь стали проявлять интерес. Об этом свидетельствуют, например, книги Ж. Дьедонне, Дж. Керрола, Д. Мамфорда [8], Э. Спенсера ЦэЦ, Т. Э. Спрингера Гго] и Д. Хаджиева [п].
В дифференциальные уравнения теория инвариантов проникает еще в работах французских математиков Э. Лагерра [12, 13], Ж. Альфана [14], Р. Лиувилля [15-18], П. Аппеля [19-21], П. Пенле-ве [22-24], Э. Гурса [25], Э. Вессио [26] и др. Рассматривались, например, инварианты дифференциальных уравнений определенного вида относительно произвольного преобразования независимого переменного и линейного или дробно-линейного преобразования искомой функции с переменными коэффициентами. Обзор работ по теории инвариантов дифференциальных уравнений дан Э. Вессио [27].
В последние десятилетия инварианты дифференциальных систем при степенных и аналитических преобразованиях неизвестных изу-

чаются А. Д. Брюно [28, 29], Л. А. Беклемишевой [30], Г. Р. Белицким [31], Л. М. Мархашовым [32]. Вопросам группового и геометрического анализа дифференциальных уравнений, восходящим к работам С. Ли и Э. Картана, посвятили свои исследования Л. В. Овсянников [зз], Н. X. Ибрагимов [34], В. А. Дородницын [35], Н. В Степанов [36, 37], В. И. Близникас, 3. Ю. Лупейкис [38], А. М. Виноградов [39] и др.
В г. Кишиневе с 1963 г. группа математиков под руководством К. С. Сибирского занялась изучением совместных полиномиальных инвариантов автономных систем дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями при различных группах линейных преобразований фазового пространства. Результаты исследований опубликованы в работах Сибирского и его учеников Д. Булараса, Н. И. Вулпе, Э. Ф. Гасинской-Кирницкой, Данг Динь Вика, А. Н. Косачевой, В. А. Лункевича, А. В. Маринчук, й. И. Плешкана, М. Н. Попа и В. Д. Таку. В монографии К. С. Сибирского [40] излагаются основы исследований в указанном направлении. Ниже приведены некоторые определения и результаты из этой монографии.
Рассматриваются системы, которые в тензорных обозначениях имеют вид
Здесь Х-(хОС ) - вектор фазовых переменных системы
(0.1), коэффициенты Си? х, V, симметричны по нижним индексам. Суммирование производится по каждой паре одинаковых буквенных верхних и нижних индексов.-О- есть некоторое множество различных между собой натуральных чисел. Если множество бесконечно, то правые части- формальные ряды. Обозначим через Си совокупность всех коэффициентов системы (о.П, Л - пространство коэффициентов системы (0.1). Пусть - группа линейных

тями из тождества Эйлера следует, что №0.
§ 4. Применение полученных инвариантов для выделения дифференциальных систем, эквивалентных относительно билинейных преобразований
В данном параграфе, как и дальше, за исключением лишь § 9, не будем пользоваться тензорными обозначениями. В частности, всегда будем снабжать переменные только нижними индексами и не будем опускать символ суммирования.
Воспользуемся найденными в прежнем параграфе соотношениями для установления билинейной эквивалентности /или неэквивалентности/ систем
Точнее, хотим выяснить, существует ли преобразование вида
преобразующее систему (4.1) в систему, геометрически эквивалентную системе (4.2).
Для систем (4.1) и (4.2) имеем
(4.1)

14.2)
(4.3)
Отсюда видно, что вторая система имеет интегральные лучи