Распространение волновых фронтов решений нестрого гиперболических уравнений

• Автор: Александрян, Гурген Рафаэлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 127 c. : ил

ГЛАВА I. ВОЛНОВОЙ ФРОНТ РЕШЕНИЙ СЛАБО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

§ I. Определения, обозначения и формулировка вспомогательных результатов

§ 2. Распространение волнового фронта решений слабо

гиперболических уравнений

ГЛАВА 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Распространение волнового фронта для уравнения с характеристиками, слипающимися со степенной
скоростью
§ 2. Параметрикс и распространение особенностей для одного модельного уравнения с экспоненциальным

вырождением гиперболичности

§ 3. Факторизуемые уравнения с вырождением общего

вида
§ 4. Характеристика потери гладкости в задаче Коши
в пространствах Хермандера
ГЛАВА 3. О ЗАДАЧЕ КОШИ И ВОЛНОВОМ ФРОНТЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ С ОСОБЕННОСТЬЮ

§ I. Постановка задачи и формулировка результатов
§ 2. Энергетические оценки
§ 3. Доказательство основных теорем
§ 4. Распространение сингулярностей для одного модельного
уравнения с особенностью
ЛИТЕРАТУРА

1°. Общая теория гиперболических уравнений и систем впервые была построена И.Г.Петровским еще в 1937 году в работе СП, где и было дано определение строгой гиперболичности (•Ь -гиперболичности). Согласно этому определению Р(х/ЬДД') называется гиперболическим (строго), если все корни характеристического уравнения

относительно V вещественны и различны. Дальнейшее развитие теория гиперболических уравнений получила на основе предложенного Ж.Лере [2], а затем развитого Л.Гордингом [з], метода разделяющего оператора.
Другое направление развития теории гиперболических уравнений связано с ослаблением условий строгой гиперболичности. П.Лаке ^4] и С.Мизохата [5] показали, что для "хорошей" постановки задачи Коши необходимым условием является вещественность всех характеристических корней (см., также, И).
В так называемых слабо гиперболических (вырождающихся) уравнениях допускается совпадение характеристических корней на определенных многообразиях, однако при этом изучение задачи Коши значительно осложняется. Случай вырождения на начальной гиперплоскости изучался еще в работах С.Геллерстеда 1.7,8] , И.С.Березина И, М.Проттера [ю], где было показано, что для корректности задачи Коши, в отличие от строго гиперболического случая, необходимы дополнительные условия на младший символ оператора. Более того, в дальнейшем В.Я.Иарием в были приведены примеры локально неразрешимых даже в слабо гиперболических уравнений, для которых эти условия нарушены. В этой связи отметим, что изучению вопросов локальной разрешимости посвящены

новым фронтам либо М х4) , либо (.і* 5 >0 . Предположим сначала, что £ Л/Р (М-ь^ . ^ , тогда из предлежения 1

получаем существование такого "С0 , что а так как А/РС^ с сич
(см. предложение 1.3), то и поэтому через нее проходит нулевая бихарактеристика , которая по теореме Хермандера целиком лежим в Уч/Р1 С'и') . Если же С^а»*!,0) ^''Л/£1('М4| , то точно так же
получаем существование >‘|®-Ъ<0 & )д/Р С^-ь^ * а в силу
псевдолокальности п.д.о. получаем, что Дальше рассуждаем как в предыдущем случае.

Остается показать, что найдется подпоследовательность ^ такая, что точки ’ где *^"х “ проекция *]** [£}
на ^ , сходятся к • Предположим, что это не так, тогда
существовал бы некоторый шар В>СХо,0) с центром в (Хо >0} такой, что в нем нет волнового фронта в направлениях^0^} для каждого 'С ни у М , ни у . Выберем достаточно малые
компакты к,. к* такие, что Хо €
КсК^ВЛ.о^А^о} и Т-Ос^бСГСкО) такую, что 003 1 при Х6 К, иХооэО
при . Рассмотрим задачу Коши
PV = Р (2.19)
. 'Ч^оо (2-ад

где ^ Сх')-%СХ') Ці(Ї) ,1'-0,1. Очевидно, что V/ к (V) с С^РОГ) , а в силу существования конуса зависимости для
(2.19)-(2.20) имеем Х'гсх5'и 1гсхлиУ5° вне ГС ко ,
где через и Г (ІО обозначены характеристические конусы
с основаниями и К гсоответственно. Очевидно, что без ограничения общности можно считать Г0О <=-Г(ІОс Е>о.,сО, поэтому, применяя энергетическую оценку (2.13), легко получаем,