Методы решения некоторых классов задач оптимального управления и дифференциальных игр

• Автор: Камзолкин, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 с. : ил.

1 О вычислении функции цены в некоторых классах нелинейных задач

оптимального управления

1.1 Задача оптимального управления с терминальным функционалом

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Функция цены и обобщенное решение уравнения Гамильтона-ЯкобиБеллмана

1.1.3 Представление значения функции цены с помощью экстремалей принципа максимума Понтрягина

1.1.4 Исследование решения вспомогательной задачи Коши

1.1.5 Метод приближенного вычисления функции цены

1.1.6 Модифицированный метод приближенного вычисления функции цены. Приближенное решение задачи оптимального управления
1.1.7 Алгоритм приближенного вычисления функции цены для задачи оптимального управления с терминальным функционалом

1.2 Задача оптимального управления с функционалом типа Больца

1.2.1 Постановка задачи
1.2.2 Метод приближенного вычисления функции цены для задачи оптимального управления с функционалом типа Больца
1.2.3 Модифицированный алгоритм. Приближенное решение задачи оптимального управления с функционалом типа Больца
1.2.4 Гладкая аппроксимация задачи оптимального управления с терминальным функционалом
1.3 Задача оптимального управления с фиксированным правым концом
1.3.1 Постановка задачи
1.3.2 Представление значения функции цены на основе экстремалей принципа максимума Понтрягина
1.3.3 Метод приближенного вычисления функции цены для задачи оптимального управления с фиксированным правым концом
1.4 Задача быстродействия
1.4.1 Постановка задачи
1.4.2 Представление значения функции цены для задачи быстродействия
на основе экстремалей принципа максимума Понтрягина

1.4.3 Метод приближенного вычисления функции цены для задачи быстродействия
1.4.4 Достаточные условия непрерывности функции цены в задаче быстI* родействия
2 Вычисление функции цены для конкретных задач оптимального управ-
' ления
2.1 Расчет тестовых примеров
2.1.1 Линейно-квадратичная задача
2.1.2 Задача быстродействия для модели ’’тележка”
2.2 Расчет задач оптимального управления с неизвестной функцией цены
2.2.1 Модель’’РОСТ”
2.2.2 Модель ’’хищник-жертва”
2.2.3 Модель физического маятника
2.2.4 Задача наискорейшего пространственного разворота твердого тела
3 О построении максимальных «-стабильных мостов для одного класса нелинейных дифференциальных игр сближения
3.1 Постановка задачи
3.2 Дискретная по времени схема приближенного построения максимальных и-стабильных мостов
3.3 Дискретная по времени, фазовым координатам и множествам управления схема приближенного построения максимальных «-стабильных мостов
3.4 Дифференциальные игры с фазовыми ограничениями
4 Приближенное построение максимальных «-стабильных мостов для конкретных дифференциальных игр
4.1 Модельный пример
4.2 Модель физического маятника
4.3 Модель ’’хищник - жертва”
4.4 Пример с фазовыми ограничениями
4.5 Модель трехколесной тележки на плоскости
А Описание программной реализации метода приближенного построения максимальных и-стабильных мостов
Литература

В диссертации рассматриваются два класса задач управления нелинейной динамической г» системой: задачи оптимального управления и задачи синтеза гарантирующих управлений
в нелинейных дифференциальных играх. Важную роль при решении таких задач играет функция цены для задачи оптимального управления и множества, обладающие специальным свойством стабильности, в игровой задаче управления.
Объектом исследования в первом классе задач управления являются динамические управляемые системы, описываемые на отрезке времени [fo,T] дифференциальным уравнением
x = f(x,u), (1)
где х е Rn - фазовая переменная, а управление и € В? стеснено геометрическим ограничением и € Р С Rp ■ Для системы (1) с начальным условием x(t0) — х0 рассматривается ряд задач оптимального управления со свободным правым концом и функционалом типа Вольца, а также задачи с фиксированным правым концом х(Т) = хг и функционалом типа Лагранжа или быстродействия. Подобные задачи часто возникают при исследовании математических моделей механики, экономики, биологии, фундаментальной медицины.
Функция цены в задаче оптимального управления каждой точке фазового пространства и начальному моменту времени ставит в соответствие оптимальное значение функционала, достижимое из этой точки как из начальной. Функция цены играет важную роль при решении задач оптимального управления в классе позиционных законов управления. Она является удобным носителем информации об оптимальном управлении, позволяющим рассчитывать его в реальном времени для реализовавшейся позиции.
Для вычисления функции цены в узлах пространственно-временной сетки разработан ряд методов, которые можно разделить на следующие две группы: методы, основанные на исследовании отдельных траекторий, и методы, основанные на исследовании всего множества траекторий.
К первой группе относятся методы, основанные на решении краевой задачи принципа максимума Понтрягина [33, 25] (Г.Л. Гродзовский, Ю.Н. Иванов, В.В. Токарев, H.H. Моисеев, Д. Брайсон, Хо Ю-ши, С.Н. Аввакумов, Ю.Н. Киселев, М.В. Орлов и др.), градиентные методы в пространстве управлений [11] (Л.И. Шатровский, Т.М. Энеев, H.H. Моисеев, Р. Копп, X. Мойер, A.B. Балакришнан, Ф.П. Васильев и др.), метод последовательных приближений [55] (И.А. Крылов, Ф.Л. Черноусько, Н.В. Баничук, X. Келли, Р. Копп, X. Мойер и др.), методы, связанные с варьированием и перебором траекторий в пространстве фазовых координат [26] (H.H. Моисеев, B.C. Михалевич, Н.З. Шор, Ф.Л. Черноусько, Р.П. Федоренко и др.).
Ко второй группе относятся методы, основанные на получении уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана [8, 40], исследовании существования и единственности решения различных краевых задач для таких уравнений и построении разностных аппроксимаций для решения этих краевых задач.
В случае выполнения гипотезы о дифференцируемости функции цены для непрерывной управляемой системы, такие методы были предложены Р. Веллманом, H.H. Моисеевым [55, 25, 26] и др.
С другой стороны исследования конкретных задач оптимального управления показывают (Л.С.Понтрягин [33], Е.Ф.Мищенко и др.), что функция цены, как правило, дифференцируема не всюду и потому не является классическим глобальным решением уравне-

Тогда погрешность вычисления функции цены Уа(Ь,х) стремится к нулю при стремлении параметров т, I, к и в к бесконечности и а к нулю согласованно в смысле условий 5-7 и справедлива оценка
W(q)
Cf (а) Су1 (а)
-Lvx
C}(a)
+ LyX(u)
+ LyT(a)—. (1.76)
Доказательство. Оценка (1.76) следует из теоремы 1.4 для задачи оптимального управления со смешанным функционалом. Проверим стремление погрешности вычисления к нулю. При стремлении параметра а к нулю получаем
lim LyX{a) = Lvx,
о:—V0+
lim LyT(a) = Lyr,
Q-+0+
* lim C?(a) =
a-»0+
Следовательно
Ит L^xM = o,
q—>0+,m—»oo Ш
lim ЬЦН
ot—>• 0 —f-—¥00 l
lim 2M-». ö->0+,m->oo TU
Остается доказать, что величина C'^Q* 0 при а —> 0+ и s ч оо. Разобьем величину
на две части и рассмотрим предел каждой в отдельности. С учетом условия 6 теоремы получаем
«->оо S
lim lim mrlKy- = оq—>0+,s—>оо S m—> оо 4772
Следовательно
lim =
а—iO+,s—>00 S
Теорема доказана. □