Методы конструктивного анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений

• Автор: Кенжебаев, Кенжегали
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 116 c. : ил

Глава I. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ МНОГОТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

§ I. Линейная краевая задача

§ 2. Квазилинейная краевая задача

§ 3. Некоторые модификации метода построения решений краевых

задач
Глава II. ДВУХТОЧЕЧНЫЕ ЗАДАЧИ СО СЛАБО ВЫРОЖДЕННЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ § I. Построение решений в случае связанных краевых условий...44 § 2. Построение решений вырожденных краевых задач с несвязанными краевыми условиями

§ 3. Вырожденные краевые задачи для слабо нелинейных

дифференциальных уравнений

Глава III. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЕ § I. Итерационная схема построения периодических решений ....72 § 2. Метод преобразований в задаче о периодических решениях

дифференциальных уравнений

§ 3. Построение периодических решений матричного уравнения

типа Риккати
Заключение
Литература

В последнее десятилетие теория краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений стала особенно интенсивно развиваться. Интерес к изучению краевых задач обусловлен, прежде всего, их многочисленными приложениями в различных областях науки и техники / теория управления, квантовая механика, электротехника, химическая технология и т. д. /. В связи с исследованием колебательных процессов периодического типа весьма актуальным является изучение периодической краевой задачи.
К настоящему времени в этой области получено большое число разнообразных результатов. Многие результаты нашли отражение в монографиях [15,22,27,37,50,66,87,94,103,1043а также в обзорных статьях [35,53,1083 . Основное внимание уделяется исследованию разрешимости краевых задач, априорным оценкам, непрерывной зависимости решений от исходных данных.
В литературе известны разнообразные методы изучения краевых задач. Здесь, помимо классических работ А. М. Ляпунова [бзЗ ,
Ж. Д. Биркгофа [юбЗ, В. А. Стеклова [88], С. Н. Бернштейна [лвЗ, Е. Л. Буницкого [213, М. В. Келдыша [4зЗ, следует упомянуть работы таких математиков как Ж. А. Блисс [ЮбЗ, М. А. Красносельский [56, 57], М. И. Наймарк [ббЗ, А. И. Перов [71-74], М. Хукухара [по], К. Аврамееку [I02J, А. Лясота, 3. Опяль [из], Г. Эфезер [юэЗ.
Теория дифференциальных неравенств, основанная С. А. Чаплыгиным [ш] »получила значительное развитие в исследованиях Н. В. Аз-белева [4,5,6], его учеников [9,Ю,70,ЮоЗ и других математиков. Применительно к краевым задачам метод Чаплыгина развит в работах
Н. В. Азбелева [?], А. И. Перова [7з], Ю. В. Покорного [ТбЗ ,

Ю. В. Комленко [55], Н. С. Курпеля [бв], ГО. А. Клокова [52] ,
И. Н. Иноземцевой [39] и других ученых.
Идеи метода Чаплыгина [98] и )(/- метода Азбелева [в ] широко использовались в работах [29,14,38,9б] . В этих работах исследована разрешимость и свойства функций Грина некоторых классов двухточечных краевых задач.
Значительный вклад в развитие теории сингулярных краевых задач сделан И. Т. Кигурадзе и его учениками /см. [50,40] /.
Значительно меньше работ посвящено исследованию многоточечных и функциональных задач. При этом основное внимание уделяется вопросам разрешимости и априорным оценкам решений [23,34,36,51, 62,67,75,78,107]
Несмотря на обилие работ по краевым задачам, все же заметим, что вопросы существования и построения решений краевых задач для систем дифференциальных уравнений в общей постановке слабо изучены даже в линейном случае. В связи с этими вопросами следует упомянуть работы [37,76,81,84,90] .Примущественное развитие получили численные методы решения [16,42,80,91,112] . Особенно различные варианты метода прогонки, основанные на переносе граничных условий и сведении таким способом линейных и нелинейных краевых задач к задачам Коши [2,42,65] и т. д
С появлением вычислительной математики и вычислительной техники значение аналитических методов не уменьшилось, поскольку численные решения все же не могут заменить аналитические, которые в ряде случаев предпочтительней с точки зрения качественного и количественного анализа и даже вычислений так же, как аналитически заданные функции предпочтительней по сравнению с таблично заданными функциями.
Значительное развитие получили приближенные аналитические методы отыскания периодических решений. Наряду с классическими

0>(^)=<

Ф~'[МгМЛ/Кг)^],

Фч[Мл-М1у(о-)^<г]1 о

ка,г)=4 д.
Теорема 1.3. При выполнении условий
<Ы ФфО, пшхШ f
решение задачи /1.1/,/1.2/ существует и единственно. Теорема 1.4. Пусть выполнены условия:
о1с£ Ф ф О,
Тогда решение задачи /1.7/,/1.2/ существует и единственно; для решения имеет место оценка
1*Ис^ 7^зс *-/,р ’

с0 о)
О о
Пусть $ (и)) = 0 . Тогда Ср = Р — Мг+ Мл . В этом
случае формула /1.4/ примет вид