Методы гамильтонова формализма в задачах нелинейного синтеза управлений

• Автор: Рублев, Илья Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Содержание И
Список обозначений
1 Связь между понятиями минимаксного решения и обобщенного слабого решения, основанного на идемпотентном анализе
1.1 Введение
1.2 Основы минимаксных решений
1.3 Обобщенная линейность уравнения Гамильтона-Якоби
1.4 Формула представления минимаксных решений
1.5 Эквивалентность минимаксных и обобщенных слабых решений
1.6 Некоторые вспомогательные результаты
2 Свойства областей достижимости для каскадных управляемых систем
2.1 Введение
2.2 Представление области достижимости
2.3 Топологические свойства области достижимости каскадной управляемой системы
2.4 Область достижимости каскадных управляемых систем при эллипсоидальных ограничениях
3 Области достижимости трехмерной каскадной управляемой системы и двумерной билинейной управляемой системы
3.1 Введение
3.2 Внешняя оценка границы области достижимости трехмерной каскадной управляемой системы
3.3 Точная область достижимости для трехмерной каскадной управляемой системы и задача о быстродействии
3.4 Область достижимости для двумерной билинейной управляемой системы
3.5 Иллюстрации
Заключение
Библиография

Математическая теория процессов управления была мотивирована потребностями прикладных наук, в том числе задачами управления движением, автоматики, робототехники и т.д. В дальнейшем она нашла применения в таких областях как экономика, финансовая инженерия и моделирование меднкобиологических процессов. Последнее время задачи управления стали возникать при изучении квантовых процессов в физике, при конструировании коммуникационных систем и т.п.
Центральной в теории оптимального управления является задача синтеза управления. Цель данной задачи состоит в том, чтобы построить управляющие воздействия, переводящие систему, описываемую уравнениями динамики, в предписанное конечное состояние. При этом управление в задаче синтеза является позиционным, то есть является функцией как времени, так и фазовой переменной. Последнее обусловлено решением практических задач в условиях неполной или неточной информации при наличии возмущений.
Большой вклад в решение задач синтеза управлений внесли Л.С. Понтрягин, H.H. Красовский, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, М.И. Зеликин, В.Ф. Кротов, А.Б. Куржанский, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипов, Б.Н. Пшеничный, А.И. Субботин, Ф.Л. Черноусько, R. Bellman, R. Brockett, A.I. Bryson, Ch.I. Byrnes, R. Isaacs, A. Isidori, A. Krener, P. Kokotovic, G. Leitmann, S. Mitter, S. Sastry, E. Sonntag, H. Sussman, P. Varaiya и другие.
удовлетворяет в обобщенном смысле (например, вязкостном [38, 39, 44, 54) или минимаксном [29, 30, 62]) следующей задаче Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана:
Здесь гамильтониан уравнения Я(т, й) = (в, /(х)) + тт{(в, С(т)и) | и 6 V}. Уравнение Гамильтона-Якоби задачи (2.2.2) записано в такой форме исключительно из-за того, чтобы в дальнейшем упростить запись результатов. Ясно, что функция Н(х, в) не является, вообще говоря, дифференцируемой. Рассмотрим однопараметрическое семейство задач Коши для уравнения Гамильтона-Якоби с непрерывно-дифференцируемыми гамильтонианами, аппроксимирующих исходную задачу Коши.
Для этого рассмотрим сильно выпуклую функцию г : V —> Е, т.е. функцию, представимую в виде суммы выпуклой функции и положительно определенной квадратичной формы. Например, таковой является функция г(и) = ||и||2 или функция г(и) = -(1 — ||и||2)1/12 (во втором случае V = {и € Нт: ||и|| < 1}). Итак, пусть А > 0 и Н(х, в) = (в, }(х)) + ппп{(5,0(х)и) + А • г{и) и е V}.
Замечание 2.2.1. Последовательность А* •г(и), где А* —» 0, можно интерпретировать как штрафную функцию (см. [3, с. 323]). Однако, например, для функции г(и) = —(1 — Н'ыЦ2)1/2 при V = (н € Кт: ||и|| < 1} штраф берется не за нарушение условия м е Р, а за то, что и близко к границе множества V. Тем самым ослабляется роль жестких “мгновенных” ограничений на управление и€Р, вносящих в задачу достижимости некоторую нерегулярность.
Обозначим для дальнейшего через и(х, в) точку из V, доставляющую минимум в выражении, определяющем функцию Н (в силу сильной выпуклости
(2.2.2)
У(1о,х) = <р(х), х € К".