Степенные асимптотики решений второго и четвертого уравнений Пенлеве и их приложения

• Автор: Белогрудов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 157 с.

Оглавление
Введение

1 Четвертое уравнение Пенлеве

1.1 Система уравнений ассоциированная с Р

V 1.2 Данные монодромии для системы уравнений (1.1.8)

1.3 Вычисление данных монодромии. Случай х —» +оо

1.3.1 ВКБ-решения уравнения (0.1.10)

1.3.2 Решение (0.1.10) в окрестности точки Л =

1.3.3 Оценки внешнего и внутреннего приближений задачи (0.1.10)

1.3.4 Вычисление матрицы

^ 1.4 Вычисление данных монодромии. Случай х —> —схо
1.4.1 Внешнее разложение
1.4.2 Внутреннее разложение
1.5 Случай полу целых а
1.5.1 Случай а-полуцелое, /3- целое четное
1.6 Случай а =
ф 1.7 Преобразования Бэклунда и Шлезингера
1.7.1 Вычисление преобразований Шлезингера
1.7.2 "Одевание" решений Р с помощью преобразований Бэклунда
1.8 Заключительная теорема

2 Второе уравнение Пенлеве
2.1 Данные монодромии системы, связанной с Р
2.2 ВКБ-решения ассоциированной системы
2.3 Вычисление фазового интеграла
2.4 Решение системы (2.2.8) в окрестности точки г — 0
2.5 Вычисление параметра р и асимптотика решения уравнения Р2
3 Распределение собственных чисел в матричной модели, ортогональные полиномы и уравнения Пенлеве
3.1 Эрмитовы матричные модели
3.1.1 Распределение собственных чисел в эрмитовой матричной модели
3.2 Полуклассические ортогональные полиномы
3.2.1 Дифференциальные уравнения для полиномов
3.3 Изомонодромные деформации системы уравнений (3.2.18) .
3.3.1 Примеры
Заключение
Список литературы

Введение

Исторические замечания
На рубеже XIX и XX веков, в работах Пенлеве [107], а немного позже его ученика Гамбье [41], решалась классификационная задача для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка вида
'У'хх — ^х. и, Иж),
где функция Р предполагалась аналитической по х, алгебраической по и и рациональной по их. Задача состояла в том, чтобы найти все уравнения указанного вида, общие решения которых не имели бы подвижных критических точек, т.е. точек ветвления и существенных особенностей, положение которых зависит от выбора начальных данных. Классификация такого сорта уравнений была достаточно естественна в то время: отсутствие подвижных критических особенностей считалось неотъемлемым признаком интегрируемости. И до сих пор, так называемый Пенлеве-тест, т.е. проверка изучаемой динамической системы на отсутствие подвижных критических точек, считается указанием на интегрируемость этой системы [2, 3].
В свое время Пенлеве и Гамбье доказали, что с точностью до преобразований Мебиуса существует лишь 50 уравнений (см. [54],[47]), удовлетворяющих вышеописанному критерию, причем лишь шесть из них не сводятся к линейным, эллиптическим или другим уравнениям из этого же списка. Эти шесть уравнений (первые три были найдены самим Пенлеве, а остальные — Гамбье) и носят в настоящее время название уравнений Пенлеве. Каноническая форма этих уравнений приведена ниже:
1. ихх = 6 и2 + х (Р)
2. ихх = 2и3 + хи — а (Рг)

для значений 2т ф 2(см. [9], т. І). Таким образом, общее решение для функций [Ф]ц, [Ф]22 является линейной комбинацией функций Уиттекера с весом £_1'2:
[НО]п = Г1/2[СгіМкиті(Є) + сі2мкі^ті(Є)- (1-3.32)
Определив диагональные элементы матричной-функции Ф(£), выразим через них внедиагопальные:

№)} 21 = [ф(ОЬ =
Ьі - ь2
Ь + Ь
<*[Ф(£)]п I. « Й[Ф(Є)І
-(с + ^)[ф(а]п

+ [^ + ||[ф(ОЬ
Используя далее свойства функций Уиттекера (см. [48]), имеем
2 <1Мк)гп{г]) = ^ + ^ _ Г})Мк)т{г]) + — 92^ 12?74 771/2ЛТА._1/2,г«.+ 1/2(2?),
аг] 2т +
что, в свою очередь, также позволяет выписать антидиагональные элементы матрицы Ф(£) через функции Уиттекера £-1/
[Ф(0]

Си (-2£Мкиті(Є)+
(1.3.33)

1 + 2т1~2к1 2
2ті + 1 >) +
+ С2 ((—4ті^ 1 — 2^)Мкі-ті (С2) +
1 — 2 ті — 2к

1 — 2т

*-•1-1/2, —ті
+ 1/2^
[ф(0]

£-1/2 £>1 + Ь
[С21(4т2£ 1М*2,ш2(^2)+
(1.3.34)

1 Т 2ш2 — 2к

2 т2 +
1 — 2т2 — 2/с
--Л42-1/2,т2+1/2(£2)^ +

А4*2-і/2 ,-Ш2 +1/2 (^)
1 — 2т
Остается найти константы интегрирования Сц. Они определяются из вида (1.2.19) Ф-функции около Л = 0 . В случае 2т» ^ Ж функции Уиттекера выписываются через вырожденные гипергеометрические ряды:
МКт{г}) = е г'/277т+1/21Т1(4 + т-к, 1 + 2т; ц),
(1.3.35)