Нелинейные интегральные операторы и уравнения в пространстве ограниченных функций

• Автор: Зимина, Наталья Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 102 с.

Содержание

Условные обозначения

Введение
ГЛАВА 1. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ,ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА ПРОСТРАНСТВЕ

НЕПРЕРЫВНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ

§1.1. Вспомогательные утверждения, используемые в

дальнейшем

§1.2. Ограниченность нелинейных интегральных функционалов

§1.3. Непрерывность нелинейных интегральных функционалов

ГЛАВА 2. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ПРОСТРАНСТВАХ
ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§2.1. Аналог принципа равномерной ограниченности для семейств нелинейных интегральных функционалов
из множества А4 [0; -Too)
§2.2. Равномерная ограниченность семейств нелинейных
интегральных функционалов из множества Мп(а;Ь)
§2.3. Ограниченность и непрерывность нелинейных
интегральных операторов
ГЛАВА 3. ОГРАНИЧЕННЫЕ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСИ
§3.1. Ограниченные решения нелинейных интегральных
и интегро-дифференциальных уравнений
§3.2. Положительные периодические решения нелинейных
интегральных уравнений с периодическими ядрами
Список литературы

Условные обозначения
R" - пространство «-мерных вещественных векторов X = (хі, £2, ... 5 хп) с нормой
Для любых х,у Е К" будем считать, что х < у {х < у), если
Xi < Уі (Хі < Уі) для всех * = 1, 2,..., п.
R" = {x Є R" : x > 0}.
Для вектора x Є R” обозначим х = (N|, |хг|,.. ■, |жп|).
[а; Ь], если а,Ь - конечные числа (а < Ъ),
(-оо;Ь, если а = — оо, b - конечное число,
(я5 о) — ■
[а; +оо), если а - конечное число, Ъ = +оо,
(—оо;+ос), если а = —оо, b — + ос.
Д (a; b) = {(t, s) : t,s Є (а; 6), s < t} .
В,!{а;6) - пространство ограниченных отображений х : (а; Ь) —у Rn с нормой
INI = sup |N0Hr".
Если а, b - конечные числа, то
Сп[а-,Ъ] - пространство непрерывных отображений х : [а; Ъ —v R71 с нормой
11*11 = 11*(*)11кп-
Если же а = -оо или Ь — +оо, то
ВС "(а; 6) - пространство непрерывных и ограниченных отображений х : (а; Ь) —> R” с нормой
11*11 = sup INOIIr"-
tE(ab)
P”(u>) - пространство непрерывных w-периодических (w-n.) отображений х : R1 —> R11 с нормой
11*11 =3?x1ll*(i)llR"-
Конус в этом пространстве:
Кп(ш) = {х Є Рп(ш) : x(t) > 0) .

Ь"(а; 6) (1 < р < сю) - пространство измеримых по Лебегу суммируемых со степенью р отображений х : (а; Ъ) -4 В,1* с нормой
Ь^(а;6) - пространство измеримых по Лебегу существенно ограниченных на (а; Ь) отображений х : (а; Ь) —4 К" с нормой
Agfa; +оо) - подпространство ВСп[а; +оо) отображений, дли которых существует конечный lim x(t).
Cg[a; +оо) - подпространство ВС"[а; +оо) отображений, для которых lim x(t) = 0.
t—^-|-оо
Вд(а; Ь) - замкнутый шар пространства ВС'г(а;6) (или Сп[аЬ]) с центром в нуле и радиусом R.
Pft(ab) - замкнутый шар пространства L^(a;6) с центром в нуле и радиусом R.
Ад[а; +оо) - замкнутый шар пространства Ад [а; +оо) с центром в нуле и радиусом R.
Отметим, что всюду ниже, если рассматриваются множества отображений, действующих в R1, то верхний индекс п = 1 в обозначениях опускается.
ВС[а;+оо) - подпространство ВС[а;+оо) отображений таких, что

x(a) = 0.
Вл[а +oo) - замкнутый шар пространства ВС[а; +оо) с центром в нуле и радиусом R.

§1.3. Непрерывность нелинейных интегральных функционалов
Теоремы 1.1, 1.2, доказанные в предыдущем параграфе, позволяют получить необходимые и достаточные условия того, что нелинейный интегральный функционал определен на пространствах ВС[0;+оо) или А0[О; +оо).
Теорема 1.3. Для того, чтобы функционал

/ f{s,x{s))ds, о
где f(s,x) удовлетворяет условиям Каратеодори, был определен на пространстве ВС[0;+оо) fA0[0;+oo)J, необходимо и достаточно, чтобы функция
u(s,t) = sup f(s, ж) I
р<т
при любом т > 0 была суммируема по s на (0;+оо).
Доказательство. Необходимость. Пусть функционал F определен на пространстве А0[0;+оо). Так как функция f(s,x) удовлетворяет условиям Каратеодори, то для любого фиксированного т > 0 по лемме 1.3 найдется такая функция хт £ Рт{0; +оо), что для почти всех s £ (0; +оо) справедливо равенство
u(s,r) = sup f(s,x) = l/(s,arT(e))|,
|ж|<г
а ввиду теоремы 1.2 функция |/(s,xr(s))| суммируема на (0;+оо).
Достаточность. Функционал F будет определен на пространстве ВС[0;+сх>), так как для любой функции х £ ВС[0;+оо) из оценки
|/(s,x(e))| < «(в,Цж||)
следует суммируемость композиции f(s,x(s)) на (0;+оо).
Теорема доказана.
Следствие 1.2 Функционал

F(x)= J f(s,x(s))ds о