Метод Пуанкаре-Перрона для эллиптического уравнения на стратифицирвоанном множестве

• Автор: Беседина, Светлана Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 91 с. : ил.

1 Постановка задачи

1.1 Определение стратифицированного множества

1.2 Физическая интерпретация

1.3 Координаты на стратифицированном множестве

1.4 Стратифицированная мера

1.5 Функциональные пространства

1.6 Прочность

1.7 Оператор Лапласа-Бельтрами

1.8 Задача Дирихле

2 р-гармонические функции

2.1 Понятие шара на стратифицированном множестве

2.2 р-гармонические функции
2.3 Теорема о среднем на стратифицированном множестве
2.4 Свойства р-гармонических и р-субгармонических функций
2.5 Гармоническая функция в окрестноти нуль-мерных стратов в случае К2
2.6 Фундаментальное решение и функция Грина

2.6.1 Фундаментальное решение
2.6.2 Формула Пуассона
2.7 Неравенство Харнака
2.7.1 Сферический аналог неравенства Харнака
2.7.2 Неравенство Харнака
2.7.3 О равномерной сходимости р-гармонической функции
3 Метод Пуанкаре-Перрона
3.1 Метод Пуанкаре-Перрона для классической задачи Дирихле
3.2 Разрешимость задачи Дирихле на стратифицированном множестве
Литература

К уравнениям на стратифицированных множествах приходят в результате изучения физических систем составного типа, имеющих разные размерности и различные физические характеристики, в частности разные элементы могут иметь разную плотность. Стратифицированное множество является геометрической моделью такой системы. Примером является задача о малых перемещениях системы, составленной из струн и мембран, другой пример - диффузия в слоистой среде, слои которой могут иметь разные коэффициенты диффузии и разные размерности.
Уравнения на стратифицированных множествах позволяют по новому взглянуть на результаты классической теории дифференциальных уравнений. Например, в рамках теории уравнений на стратифицированных множествах задачи Дирихле и Зарембы оказываются одинаковыми по методу исследования. Таким образом, вместо нескольких теорем, описывающих одно и то же качественное свойство, которое относится на первый взгляд к разным задачам, можно получить одну теорему. Кроме того, в некоторых случаях рассмотрение задачи как задачи на стратифицированном множестве позволяет упростить некоторые построения.
До конца 70-х годов исследованию поведения систем составного типа посвящены лишь отдельные работы. Одной из первых была работа Ку-

2.5 Гармоническая функция в окрестноти нуль-мерных стратов в случае М2
На плоскости рассматривается шар В(Е, е), центром которого является нуль-мерный страт стщ, двумерными стратами а^к являются сектора шара с углами по 90°. То есть В(Е,е) = Ja2k- Одномерными стратами являются места стыковки двумерных стратов с^. Считается, что на В(Е,е) задана стратифицированная константа р(Х) (напомним, что она считается постоянной в пределах каждого страта и положительной в стратах сг2г, в стратах меньшей размерности она равна нулю).
Введем в В(Е,е) полярные координаты следующим образом: полярная ось совпадает с стц, оставшиеся = 2,4 образуют с сгц углы
<£2, ¥>3) ¥?4 соответственно.
Будем нумеровать страты, как это показано на рисунке:
Рис. 2.3: Стратифицированное множество
Докажем, что на рассматриваемом множестве существует р-гармони-ческая функция, которая принимает на границе дВ(Е, е) значение рав-