Метод подвижного корепера в геометрии дифференциальных уравнений

• Автор: Морозов, Олег Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 286 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Дифференциальные уравнения, метод Картана
и псевдогруппы Ли
1.1 Расслоения джетов и дифференциальные уравнения
1.2 Накрытия дифференциальных уравнений
1.3 Системы Пфаффа в инволюции
1.4 Локальные группы Ли
1.5 Метод эквивалентности Картана
1.5.1 Частная проблема эквивалентности
1.5.2 Общая проблема эквивалентности
1.5.3 Различные обобщения проблемы эквивалентности
1.6 Псевдогруппы Ли
2 Проблема Ли - Лиувилля - Тресса
3 Сравнение различных подходов к применению метода
Картана в изучении псевдогрупп симметрий
дифференциальных уравнений
3.1 Априорно известные геометрические свойства изучаемого
дифференциального уравнения
3.2 Использование разложения инфинитезимальных генераторов
транзитивных псевдогрупп Ли в ряды Тейлора
3.3 Инвариантизованные определяющие уравнения для форм
Маурера-Картана
4 Псевдогруппы контактных преобразований на расслоениях
джетов
4.1 Формы Маурера-Картана и структурные уравнения
псевдогруппы точечных преобразований на Ет)
4.2 Формы Маурера-Картана и структурные уравнения
псевдогруппы контактных преобразований на 72(Е",М)

5 Псевдогруппы симметрий дифференциальных уравнений
5.1 Метод подвижного корепера и псевдогруппы точечных симметрий дифференциальных уравнений
5.2 Метод подвижного корепера и псевдогруппы контактных симметрий дифференциальных уравнений
6 Проблемы эквивалентности для дифференциальных
уравнений
6.1 Проблема Лапласа для линейных гиперболических уравнений
6.2 Проблема Лапласа для линейных параболических уравнений
6.3 Линсаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро - Хантера - Сакстона
6.4 Проблема эквивалентности для уравнения Христиановича-Рыжова
7 Накрытия дифференциальных уравнений и интегрируемые
расширения псевдогрупп симметрий
7.1 Накрытия и псевдогруппы симметрий дифференциальных уравнений
7.2 Контактные интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий
7.3 Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного модифицированного уравнения Хохлова-Заболотской
7.4 Контактное интегрируемое расширение и накрытие
уравнения Дунайского
7.5 Накрытия и многозначные решения дифференциальных уравнений
7.6 Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения

7.7 Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили
Заключение
Литература

Введение
Дифференциальные уравнения являются эффективным средством описания и изучения разнообразных процессов в физике, технике, химии, биологии и экономике, а также важнейшей областью исследования, приводящей к развитию большинства отраслей математики. Функциональный анализ, линейная алгебра, численный анализ и многие разделы геометрии обязаны своим возникновением потребностям совершенствования теории дифференциальных уравнений. В частности, теория непрерывных групп, объединившая методы алгебры, анализа и геометрии и ставшая одним из краеугольных камней современной математики, была создана Софусом Ли для унификации методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений как обобщение теории Абеля - Галуа решения алгебраических уравнений. Непрерывные группы, названные Пуанкаре группами Ли, оказали глубокое влияние на многие области математики и физики, такие как теория гравитации, гидродинамика, квантовая механика, теория управления и другие.
Основой применения групп Ли для изучении дифференциальных уравнений является конструкция группы симметрий. В настоящее время имеется большое количество книг, детально описывающих этот подход, см. [141, 37, 15, 9, 35, 61, 106, 41, 191]. В рамках классической теории Ли группа симметрий дифференциальных уравнений состоит из тех невырожденных (обратимых) замен его независимых и зависимых переменных и порожденных ими преобразований производных, которые переводят совокупность решений этого уравнения в себя. Это условие дает сложные нелинейные уравнения на функции, задающие эти преобразования (определяющие уравнения или уравнения Ли). Фундаментальное открытие Ли состояло в том, что в случае непрерывных групп преобразований эти нелинейные уравнения можно заменить на более простые условия, перейдя от преобразований, близких к тождественному, к порождающим их векторным полям (инфинитезималъ-ным генераторам), то есть, на современном языке, перейдя от группы Ли к ее алгебре Ли. Коэффициенты инфинитезимальных генераторов удовлетворяют переопределенной системе линейных уравнений в частных производных (инфинитезималъные определяющие уравнения). Анализ этой системы и ее интегрирование позволяет в большинстве случаев найти инфинитезимальные генераторы группы симметрий явно, хотя, например, в случае одного обыкновенного уравнения первого порядка задача явного вычисления инфинитезимальных генераторов равносильна задаче нахождения его общего решения, что не всегда возможно (см., например, [188, Ch. VI]).
Знание группы симметрий дифференциального уравнения позволяет явно

Из равенств (1.45) мы получаем
ф *Ф91 = ае (1.46)
Найдем дифференциалы форм 6; — Щ(х, и) оР = Щ ш*. Мы имеем д,в1 = = <1Щ Л и* + Щ =
= ЛЩЛ + Д, - Щр>;„ рЧ, и>- Л ^ =
= ЛЩЯIЛ в" +1Щ, (Ц - Щ Щ' № Л &■ =
= (—1^ йив + -тг+Цах8) л вк+
дие к дхвК
I 1 рг [ ^Р]' .Х' ..у р/'' р/,-" л) Л пк _
2 Ш~д&) Ъ"РЬ"К: Ек 6 Ав ~
— Д' г/,'/' Л ^ I ■*■ (®Ек' ~р" -хй'Л Ы' А/с' д[ Л е*с ,
- дио ЩЧи / +2 I агр.„ р), Р/с' I

= —М <1ив Лвк + - Щк в] Л вк. (1.47)
дие * 2 зК
Заметим, что при фиксированном х € М формы ^ Е,{ (1ив являются
правоинвариантными на группе Сх. Действительно, при фиксированном х они совпадают с формами йЩ Щ. = с1Щ(х, и) Щ{х, и). При фиксированном V € 11х мы имеем
с1Щ(х, у)) А{(х, Рх(и, у)) = с? ^Щ,(х, и) Щ (х, у)^ Ау{х, у)Щ(х, и) —
— й [Щ,(х, и)) Щ (х, у)Л1,(х, у)Ак (х, и) = сШ)(ж, и) Як(х, и),
откуда и следует правоинвариантность. Кроме того, групповые параметры гг1, ..., иг должны быть независимы, поэтому существуют значения индексов г,
... , гг и Ац, ... , кг, такие что для матрицы (В£(ж, гг)) = гг) В{.^(х, гг)^
выполнено условие бе! (Вр (ж, гг)) ф 0. Обозначим