Дробное интегродифференцирование и корректная разрешимость эволюционных уравнений

• Автор: Климентова, Вера Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 76 с.

Содержание
Введение

Глава I. Пространства с весом типа потенциала

§1.1 Некоторые необходимые определения и обозначения .

§1.2 Пространства Ьрп и их свойства

Глава II. Дробное интегродифферецирование

§2.1 Интегралы Римана-Лиувилля

§2.2 Дробные производные Римана-Лиувилля

§2.3 О дробном дифференцировании функциии Ван дер

Вадена
§2.4 Дробные производные Маршо и Грюнвальда-Летникова 51 §2.5 Видоизмененная производная Грюнвальда-Летникова
Глава III. Приложения к эволюционным уравнениям
§3.1 Задача Коши
§3.2 Оценка резольвенты оператора дробного дифферен-
цированния
§3.3 Эволюционные уравнения
§3.4 Примеры
Введение
Исследования, проводимые в диссертации посвящены применению методов дробного интегро-дифференцирования к изучению корректной разрешимости задачи Коши для абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве и, связанным с этим, изучением свойств непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций (ИНД-функций).
Следует отметить, что в последнее время к таким функциям значительно вырос интерес благодаря их тесной связи с фракталами, играющими важную роль в современных исследованиях в теории динамических систем (см. [1], [2],[3]). Как отмечено в [1] стр.79, одной из заслуг Б. Мандельброта в его работах 1975-1977гг по фракталам является то, что он ’’указал на досадный пробел в ” Началах” Евклида (неявное предположение о гладкости объектов) по которым, не замечая явного упущения, человечество на протяжении почти двух тысячелетий постигало геометрию окружающего мира и училась математической строгости изложения”.
В то же время, внимание математиков к ННД-функциям было обращено задолго до Мандельброта. Как известно ([4], стр. 408, [6] стр. 106) первый пример такой функции был найден Б. Больцано в 1830 году в работе ’’Учение о функции”, опубликованной лишь 100 лет спустя.
К. Вейерштрасс в 1871 году также привел пример такой функ- с ции

/(ж) = 22 ап соз(Ьп7тх),

где 0 < а < 1, 6-нечетное число, такое что аЬ > 1 + ~ (см
108).
Примерно в то же время Дарбу построил свой пример ННД-функции
^ = ^ 5Ід((п + 1)!ж)

Последующее затем стремление построить по возможности более широкие классы таких функций привело к вопросу о ’’массивности” (термин из [4], стр. 111) множества таких функций в пространстве непрерывных функций, поставленном Штейнгаузом в 1929 году. На этот вопрос независимо ответили С. Банах [7] и С. Мазуркевич [8], доказав, что почти все в смысле категории Бэра непрерывные функции нигде не дифференцируемы. Множество таких функций имеет вторую категорию Бэра в пространстве С[0д] всех непрерывных на [0,1] функций с равномерной метрикой (доказательство приведено в [4], п.4.3).
В 1922 году Безиковичем [9] был дан ответ на еще один, более тонкий вопрос. Он построил непрерывную функцию не имеющую ни в одной точке ни конечной, ни бесконечной односторонней производной.
Таким образом к моменту зарождения теории Мандельброта о фракталах аппарат ННД-функций был довольно основательно подготовлен.
Другая основополагающая связь объединяет фракталы с классическим фундаментальным направлением - дробным интегро-диф-

ференцированием (ДИД). Этому посвящены многочисленные работы математиков и физиков([10],[11]).
Как известно диффузионные процессы на фрактальных средах

Глава II.
Дробное интегродифферецирование
§2.1 Интегралы Римана-Лиувилля
Пусть t Е [а, Ь) С R1, f(t) 6 Li[(a, &),£].
I+f(t) — f*f(x)dx — левосторонний интеграл функции f(t). I-f(t) = f(x)dx — правосторонний интеграл функции f(t). Пользуясь формулой п-кратного интегрирования, имеем
/+/(t) = / dti Г dt2... [ " 1 f(tn)dtn =
da Ja Ja
= (Щц! H(t-xT-lf(x)dx. (2.1.1)
Ilf it) = [b dti t dt2... t f(tn)dtn =
Jt Jtl d*n—l
= Jtx - t)n-1f(x)dx. (2.1.2)
Заметив, что (n — 1)! = Г(тг), видим, что правая часть имеет
смысл и для нецелых значений п. Поэтому естественно определить интегрирование нецелого порядка следующим образом:
J*{t - x)a~1f(x)dx, X > а, (2.1.3)
(!-/)(*) = jtx - t)a~1f(x)dx1 x где а > 0.
Первый из этих интегралов называется левосторонним интегралом дробного порядка Римана-Лиувилля, а второй — правосторонним интегралом дробного порядка Римана-Лиувилля.