Применение нелокальных операторов для исследования обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Павлюков, Константин Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 99 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ДОПУСКАМЫЕ ОДУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Каноническая и ультраканоническая формы ЭНО
§ 2. ЭНО, допускаемые ОДУ 1-го порядка
§ 3. Примеры применения ЭНО для ОДУ
§ 4. Способ нахождения конечных нелокальных
преобразований
§ 5. Обсуждение результатов
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДОПУСКАЮЩЕГО ЭНО
§ 1. Необходимые определения и пояснения
§ 2. Некоторые частные случаи решения определяющей системы
(2.1.1) и обратной задачи
§ 3. Упрощение определяющей системы (2.1.1)
§ 4. Построение алгоритма решения определяющей системы
(2.1.1) при а(х)фО
§ 5. Группа эквивалентности и симметрии определяющей системы (2.1.1)
§ 6. Обсуждение результатов
ГЛАВА 3. ТЕОРЕМЫ О ФАКТОРИЗАЦИИ И СИНТЕЗ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Необходимые определения
§ 2. Теоремы о факторизации
§ 3. Примеры синтеза уравнений с заданными свойствами
§ 4. Обсуждение результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ!
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
В данной работе представлены результаты поиска альтернативных методов исследования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для получения дополнительной (например, симметрийной) информации о решениях ОДУ и, в некоторых случаях, общего решения ОДУ в аналитическом виде. Здесь так же рассматривается вопрос о возможности сведения ОДУ к системе специального вида, синтеза ОДУ с заданными свойствами, а также изучается проблема решения обратной задачи для ОДУ 2-го порядка, допускающего ЭНО.
Проблема нахождения аналитического вида решений ОДУ возникла вместе с появлением ОДУ в математических теориях и приложениях. Поисками конструктивных методов точных решений занимались многие математики 18 и 19 веков. В начале 20 века задача о поиске аналитического вида решений ОДУ отступила на второй план, уступив место развивающимся качественным методам теории дифференциальных уравнений. Последующее появление ЭВМ позволило весьма эффективно использовать трудоёмкие численные алгоритмы. Успешная реализация численных методов повлекла дальнейший отход от классической постановки задачи. Тем не менее, примерно с середины нашего века стал возрождаться интерес к методам теории поиска решений дифференциальных уравнений в аналитическом виде (задача о нахождении аналитического вида решений ОДУ даже послужила толчком для возникновения и развития некоторых современных направлений математического анализа), в частности, к теории Ли, группам Ли-Беклунда. В настоящее время вновь стал актуальным вопрос об отыскании аналитического вида решений дифференциальных уравнений, причём интерес к решению именно этой проблемы возник среди широких кругов специалистов самого раз-

а оператор X1 преобразуется в нелокальный
Хх = ехр(- | ш(1 - Ш)ди
Легко проверить, что вычисление дифференциального инварианта последнего оператора не приводит к интегрированию полученного промежуточного уравнения, откуда следует, что механизм интегрирования ОДУ с помощью ЭНО принципиально отличается от обычного алгоритма Ли.
Как и в примере 1, последний оператор можно перевести в „геометрическую” форму, и тогда получим оператор
X! = ехр- | - (у2ду).
Находя инварианты данного оператора и подставляя их в промежуточное уравнение, получаем уравнение Бернулли:
и' + t ~хи2 + и = 0.
Пример 3 [16]. Уравнение

допускает двумерную алгебру Ли с базисом Х1 = у'ду , Х2 ~[(т + + 1)ху' - 2у]ду. Действуя аналогично процедуре в примере 2, получаем
в качестве промежуточного уравнение Абеля 2-го рода
202 + 1) т
ии- и = - — t+Bt ,
(т+ 3)
допускающее нелокальный оператор
Полученный оператор можно записать в „геометрической” форме, тогда получим
и 1ди.