Локальные гамильтонианы для интегрируемых квантовых моделей на решетке

• Автор: Тарасов, Виталий Олегович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 133 c. : ил

Глава I. ЛОКАЛЬНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ В КВАНТОВОМ

МЕТОДЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

§ I. Интегрируемые квантовые модели на решетке

§ 2. Локальные решеточные квантовые гамильтонианы

§ 3. XXX-модель произвольного спина и модель

решеточный нелинейный Шредингер

Глава 2. НЕПРИВОДИМЫЕ МАТРИЦЫ М0Н0ДР0МИИ С ДВУМЕРНЫМ

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ

§ I. Матрицы монодромии конечной степени

§ 2. Неприводимые матрицы монодромии для Л -матрицы ХХЕ -модели

§ 3. Матрицы монодромии для Я -матрицы

XXX -модели
Глава 3. ЛОКАЛЬНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ С
НЕПРИВОДИМЫМИ МАТРИЦАМИ МОНОДРОМИИ
§ I. Теоремы существования локальных гамильтонианов
§ 2. Спектр локальных гамильтонианов
§ 3. Модель решеточный синус-Гордон 113 '
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Интегрируемые квантовые модели занимают видное место в современной математической физике. Они проявляют многочисленные привлекательные физические свойства, и в то же время связаны с интересными математическими структурами. Предложенный в работах [1-4](см. также обзоры [5 - 8]) квантовый метод обратной задачи является наиболее мощным средством исследования интегрируемых квантовых моделей. В его основе лежит переход от исходных операторов к зависящим от комплексного спектрального параметра матрице монодромии или данным рассеяния вспомогательной линейной задачи, в терминах которых интегрируемость модели выражается в существовании Я -матрицы, задающей коммутационные соотношения матричных элементов матрицы монодромии. С помощью квантового метода обратной задачи было осуществлено динамическое вычисление спектра масс и матриц рассеяния ряда теоретико-полевых моделей. Важную роль в формулировке метода сыграли квантовое нелинейное уравнение Шредингера [I, 3] , квантовая модель ь.пе-бохсЬп [_ 2] , а также ХУ2. -модель Гейзенберга спина 1/2 [4] и ее более простой изотропный вариант XXX -модель [э]
Особое место в формализме метода занимают модели на одномерной решетке. Такие модели естественно возникают при квантовании классических систем, скобки Пуассона которых связаны с компактными алгебрами Ли. С другой стороны, решеточные модели играют роль ультрафиолетовых регуляризаций непрерывных моделей. Именно с этой целью в [10 - 13] были предложены интегрируемые модели решеточный нелинейный Шредингер и решеточный синус-Гордон. Они характе-

ризуются тем, что сохраняют классическую и квантовую 13. -матрицы соответствующей непрерывной модели. Кроме того, в классическом случае данные рассеяния непрерывной и решеточной моделей совпадают. Поэтому такие решеточные модели являются наиболее естественной ультрафиолетовой регуляризацией интегрируемых непрерывных моделей114].
Однако в квантовом методе обратной задачи еще имеется ряд нерешенных технически важных вопросов. До недавнего времени к ним относилась задача о построении квантовых гамильтонианов в терминах матрицы монодромии - квантовые тождества следов. Для нелинейного уравнения Шредингера такое построение осуществляется с помощью нормального упорядочения [з, 15] , однако к более сложным моделям этот способ уже не применим. В общем случае, чтобы не иметь дело с ультрафиолетовыми расходимостями, эту задачу следует формулировать для решеточных моделей. При этом естественно возникает требование локальности - непосредственно взаимодействуют только несколько ближайших соседей.
В работах [12, 13] был предложен регулярный способ получения локальных гамильтонианов в классическом случае. Однако в квантовом случае он приводит, вообще говоря, лишь к квазилокальным гамильтонианам - непосредственно взаимодействуют все соседи с интенсивностью экспоненциально убывающей с расстоянием между ними.
В некоторых случаях, используя специфику модели, этим методом удается построить локальные гамильтонианы. Например, так обстоит дело для некоторой модификации модели решеточный нелинейный Шре-дингер, - в ней существует гамильтониан, описывающий непосредственное взаимодействие 8 ближайших соседей [12, 13]

где 3(хх*?0 определен формулой (З.П). Оператор 13(м С^х0 построим из локальной матрицы монодромии и (ТО с помощью сим-метрического произведения
т=і
Используя представление (3.6), можно проверить, что таким образом определенный оператор 13^"° С V) обладает требуемыми свойствами, в полной аналогии с оператором ОО > построенным
по формуле (3.7). '
/V»
І »V
Гамильтонианом модели является оператор Ц-Ц = |о • Б отличие от предыдущих примеров здесь гамильтониан нелокален, но по-прежнему имеет аддитивный спектр. Его одночастичные собственные значения легко вычисляются с помощью теоремы 2.4:
= т (3-57)
Рассмотрим непрерывный предел в основной модели. Б этом пределе гамильтониан модели становится локальным:
Й — 1 і +
О (3.58)
+ 2, ( Чс( В к) + 1% (?

где <хк - координата к -ой примеси
Соответствующие вычисления аналогичны вычислениям для оператора квазиимпульса модели РНШ. Для одночастичных собственных значений предельный переход осуществляется совсем просто: