Асимптотики при t→∞ решений начально-краевых задач, описывающих малые колебания стратифицированной жидкости

• Автор: Свиридова, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 127 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Краткое содержание работы
Глава 1. Существование решения “модели Свешникова”
1.1 Выражение компонент решения задачи (3), (4)
1.2 Оценки норм компонент решения задачи (3), (4)
1.3 Проверка начальных и граничных условий для задачи (3), (4)
Глава 2. Асимптотические представления компонент решения “модели Свешникова”
2.1 Асимптотика компоненты решения ¥3 (т,/)
задачи (3), (4) при / —» +со
2.2 Асимптотика компоненты решения Ух(х,()
задачи (3), (4) при / —> +од
2.3 Асимптотика компоненты решения Г2(х,^)
задачи (3), (4) при 1 —» +со
2.4 Асимптотика компоненты решения -*—(х,А

задачи (3), (4) при 1 -» +со

2.5 Асимптотика компоненты решения (х,П

задачи (3), (4) при г —> +со
Глава 3. Существование решения “обобщенной модели”
3.1 Выражение компонент решения задачи (8), (9)
3.2 Оценки норм компонент решения задачи (8), (9)
3.3 Проверка начальных и граничных условий для задачи (8), (9)
Глава 4. Асимптотические представления компонент решения “обобщенной модели”
4.1 Асимптотика компоненты решения У3(ху)
задачи (8), (9) при / —» +со

4.2 Асимптотика компоненты решения
задачи (8), (9) при / —» +со
4.3 Асимптотика компоненты решения У2 (х,/)
задачи (8), (9) при ? —> +со

4.4 Асимптотика компоненты решения —(х,/)

задачи (8), (9) при г ->• +со

4.5 Асимптотика компоненты решения (х,/)

задачи (8), (9) при / —» +оо
Заключение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. Изучение вопросов разрешимости, гладкости и асимптотик при г->-юо решений начальных и начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания жидкостей, важно для теории уравнений в частных производных и является актуальным научным направлением в современной математике.
Первыми работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С. Л. Соболева, например, [1], [2] и др. В этих работах исследовалось движение идеальной (то есть невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. Исследования Соболева были продолжены в работах Т. И. Зеленяка, В. Н. Масленниковой, М. Е. Боговского, Г. В. Деми-денко, С. В. Успенского, А. В. Глушко, В. П. Маслова, С.Я. Секерж-Зенковича, С. А. Габова, А. Г. Свешникова, А. Г. Костюченко, А. И. Кожано-ва, см. например, работы [3]—[14]. В работах этих авторов исследовалась асимптотика при t —> +со решений различных задач, описывающих движение вращающихся жидкостей.
В настоящее время возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Здесь можно указать работы М. И. Вишика, Т. И. Зеленяка и В. П. Михайлова. А. Г. Свешниковым и С. А. Габовым были рассмотрены вопросы о глобальной по времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений, возникающих в стратифицированных жидкостях и стратифицированных вращающихся жидкостях (см. [15], [16]). Исследования вопросов динамики стратифицированных жидкостей были продолжены учениками С. А. Габова и А. Г. Свешникова, а именно Ю.Д. Плетнером, М. О. Корпусовым, С. Т. Симаковым, П. А. Крутицким, Л. В. Перовой (см. [17]—[27]). В монографии А. В. Глушко [29] содержатся результаты, относящиеся к дифференциальным операторам с неоднородным символом. В этой работе рассмотрены также вращающиеся вязкие сжимаемые жидкости. Поведение при ^ »со решений различных задач, описывающих колебания жидкостей, как вязких, так и невязких, изучалось в работах М. E. Schonbek, E. Feireisl, Th. Gallay, C. E. Wayne, T. Miyakawa, L. Brando lese, C. M. Dafermos, Chen, Gui-Qiang и др. (см. [30]-[73]).

2 ix1 ■*
^гл3 гг/
Их2 •*

1 cos5 9 sin 9 [exp (/75) I-exp (-/75)]
1 (a2 sin2 9 +со] cos 2 б?) 1.5 :
%{?) Icos5 <9sin# [exp (/75) 1 - exp (-/75)]
1 (a2 sin2 9 +со] cos 2 9) 1.5

№ icos7 6? sin#] [exp (/75) 1-exp (-/75)]
1 sin2 9 +со] cos' >e) r
'3 я/
~9 24 Г'г Vi ($)cosJ sin 6?[схр(г/^) — ехр(-/75)]
Вп = м

(a2 sin2 в + со]cos2 @)°
Вп =— J
2ix3 я!
t]2 (#)cos3 #sin# [exp (/75) I-exp (-/75)]
1 [a2 sin2 9+ co] cos 2 9) 0.5
■R„(9)d9,

sin# +<»
&(«)= W
* ~°° Р
ч sin# У
^-//sin-1 0 +оо
ш= I + J
2_ £jn 9 0 —1,л cos О I п} -)/Г sin" 0-р2 -й3>/д2 sin2 0-/3'
Я3 (l 4vt2cos2d?)

е-ъл*»о e/r3,/X2 sin2 e-p2 + e~as yjx2 sin2 o-p2 j
) я 1 + Я2 cos2 6 n
dA,, n = 2,3,4.
(2.11)
ТЕОРЕМА 2.1.3. Пусть выполнены условия 1, 2. Тогда для интеграла Bn{x,t,7C/2) (при и = 2,3,4) справедливо при t —> +со асимптотическое представление
Вп (х, t, л / 2) = ЗД2 2"°5 я^'^хДа1'5 sin (я / 4 - to) («2 - со]) 15 Г25 х 2 sin |х3 sJa2- р2 j cos |хзЛ/я2- Д2 j
• Я2хзЛ/я2-Д2 ^
/7Я + б(х,/), (2.12)
й(х,г) = |х1х33|(9^ 3), оценка 6 (х,г) равномерна по х3:0 <£ <х3< А<со. Доказательство.
Запишем представления (б?) и У?„ (<9), определенные в (2.11), в виде