Крамеровские асимптотики в системах с медленными и перемешивающими быстрыми движениями

• Автор: Бахтин, Виктор Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Минск
• Количество страниц: 165 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

§ 1. Метод усреднения

§ 2. Крамеровские асимптотики

§ 3. Вычисление крамеровских асимптотик

§ 4. Динамические системы Перрона-Фробениуса

§ 5. Системы с гиперболическими быстрыми движениями

Глава 1. Каскад с марковскими быстрыми движениями

§ 1. Постановка задачи

§ 2. Формулировка результатов

§ 3. Свойства оператора условного математического ожидания

§ 4. Разложение невязок
§ 5. Доказательство теоремы 2.1 и дополнений 2.1, 2.
§ 6. Доказательство теоремы 2.3 и дополнения 2.
§ 7. Теорема Крамера с двумя невязками
§ 8. Доказательство теоремы Крамера
Глава 2. Инвариантные меры на гиперболическом аттракторе
§ 1. Динамические системы Перрона-Фробениуса
§ 2. Гиперболический атлас, листы и следы
§ 3. Слоистые функции и оператор взвешенного сдвига
§ 4. Инвариантные меры и вероятностные теоремы на гиперболическом
аттракторе
§ 5. Гладкая зависимость инвариантной меры от параметра
§ 6. Операторы Перрона-Фробениуса
Глава 3. Построение сильно инвариантного конуса в пространстве
слоистых функций
§ 1. Свойства образов листов
§ 2. Свойства образов следов
§ 3. Перемешивание следов
§ 4. Стандартное представление образов следов
§ 5. Инвариантный конус в пространстве слоистых функций
§ 6. Доказательство теоремы 2.5.
Глава 4. Каскад с быстрыми гиперболическими движениями
§ 1. Определение каскада с быстрыми гиперболическими движениями
§ 2. Слоистые функции на косых следах
§ 3. Асимптотическая теорема
§ 4. Доказательство асимптотической теоремы
§ 5. Вероятности больших уклонений
Глава 5. Свойства оператора взвешенного сдвига
§ 1. Свойства образов косых листов
§ 2. Свойства образов косых следов

§ 3. Простейшие свойства пространства слоистых функций и оператора
взвешенного сдвига
§ 4. Перемешивание косых следов
§ 5. Доказательство теоремы 4.2.
§ 6. Доказательство теоремы 4.5.
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена методу усреднения в динамических системах с медленными и перемешивающими быстрыми движениями, в которых быстрые движения образуют либо эргодическую цепь Маркова, либо детерминированный каскад с гиперболическим аттрактором. Ее итоговый результат можно сформулировать одним предложением: доказано существование крамеровских асимптотик для вероятностей больших уклонений от усредненного движения и найдена аналитическая процедура для их вычисления.
Оказалось, что порождаемые такими системами полугруппы и возмущения по-лугрупп операторов взвешенного сдвига обладают рядом неожиданных и удивительных свойств. Самое важное из этих свойств, позволяющее получать очень сильные вероятностные теоремы, — это существование асимптотического разложения возмущенной полугруппы по степеням малого параметра на отрезках времени, обратно пропорциональных малому параметру. А самое удивительное — это форма указанного асимптотического разложения. В частности, каждый его коэффициент является суммой четырех разнотипных слагаемых, и эти слагаемые нужно находить как решения четырех уравнений совершенно различной природы.
По сути дела, один и тот же результат (крамеровские асимптотики) получен для двух типов систем. В них медленные движения происходят в области евклидова пространства и определяются векторным полем, зависящим от медленной и быстрой переменных. Быстрые же движения в первом случае образуют цепь Маркова на абстрактном вероятностном пространстве (с дискретным временем), а во втором случае — каскад, обладающий гиперболическим перемешивающим аттрактором. Однако не вызывает сомнений, что основной метод доказательства может иметь гораздо более широкий круг применений. В частности, с его помощью уже получены (но не вошли в диссертационную работу) аналогичные результаты для стохастических процессов с быстрыми диффзионными движениями.
Опишем в самых общих чертах, не приводя никаких точных формулировок, основные понятия и идеи этой работы.
§ 1. Метод усреднения
Пусть в динамической системе медленные движения происходят со скоростью порядка единицы, а быстрые со скоростью порядка 1/е. Сущность метода усреднения состоит в отбрасывании быстрых движений при изучении медленных. Дело в том, что медленное движение часто удается представить в виде суммы быстрых, но малых по амплитуде колебаний, и гладкого усредненного движения, определяющего некоторую динамическую систему на пространстве медленных переменных. Эта динамическая система называется усредненной. В ней отсутствуют быстрые переменные, и ее изучать легче, чем исходную. Обосновать метод усреднения — это значит доказать, что истинное медленное движение в каком-либо смысле мало отличается от усредненного.

Доказательство. Вначале заметим, что ||Ле/||о < ||/Цо для / € С°(х,ю). Из теоремы о дифференцировании сложной функции вытекает оценка
|3|А|/(а: + еи(х,и)), и>')/дхк < (1 + Се)||/|||Ь|
при некотором достаточно большом С и всех |&| < N +1. Вычислим производную от Ас/:
ат(А.М*,у) . [
дх* уп дх*
^ с'к [ д^р(х,ги,<1ю')
пл/ь Ю

О ф1<к

дк *1 (/(х-р Е1)(х,ш),и/) —/(х,и/)) д^р{х,ш,дш')
о #/<*

Первое слагаемое не превосходит (1 + Се)||/|||*|• Следующая сумма в силу (3.2) оценивается величиной порядка |/||*|-1. Последняя сумма по порядку будет не больше е||/|||)ь| в силу теоремы Лагранжа и ограниченности вариаций зарядов д^р(х,ш, • )/дх!. Тем самым первое неравенство доказано. Для вывода второго рассмотрим тождество Ас/ = (Ас — А0)/ + А/. Из определения оператора Ас видно, что ||(Д£ - Ао)/||,_1 < СеЦ/Ц,-, а по утверждению 3.1 |А/|<_1 < Л|/|;_г. □
Утверждение 2. Если 2) = П*1, то в условиях теоремы 2.1 существует такое большое С, что для оператора В{(^,е) из (2.8) при всех £ < 1 справедливы оценки
< Се||/||„

<с 1/1,, 1<1<Аг + 1, ;< N -(1-1) -21.
Доказательство. Первая из этих оценок получается при помощи дифференцирования формулы (4.2) и теоремы Лагранжа. Для вывода второй разложим / в сумму /+/ = А/Л-А/. Из (4.2) следует, что В,(£,0)/ = ,0)1 = /(Р,(£,0)+1).
Но З'РД^О)/^* = 0 в силу (4.1). Поэтому и д'.В<(£,0)//5£* = 0. Далее, ||/||, < С(А)|/|^ в силу утверждения 3.3 (при т = 0). Из этого неравенства и (4.2) вытекает вторая из доказываемых оценок. □
Займемся теперь теоремой 2.3. В процессе доказательства теоремы 2.1 для правильной диаграммы 2) = П*/ мы обеспечили выполнение равенств (5.1), а также тождества Н0(£,0) = Р (оно вытекает из (2.4) и (2.12)). Сравним (2.22) при ( = 0 с (2.11). У нас получится, что ^Ио^е) = /?(£,е). По лемме 4.1 существует разложение Д(£,е) в степенной ряд , где (г,^‘ + 1) ^ П*/ и