Краевые задачи для уравнений термоупругости с граничными условиями типа неравенств

• Автор: Селютин, Алексей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 82 с.

Содержание
Введение.
Глава 1. Задача о равновесии термоупругой пластины
с краевым условием типа Синьорини.
1.1 Постановка задачи.
1.2 Существование решения.
1.3 Теорема единственности.
1.4 Краевые условия на .
Глава 2. Третья краевая задача о равновесии термоупругой
пластины, содержащей вертикальную трещину.
2.1 Постановка задачи.
2.2 Существование решения.
2.3 Теорема единственности.
2.4 Краевые условия на Г^. '
Глава 3. Задача о равновесии термовязкоупругого тела,
содержащего трещину.
3.1 Постановка задачи.
3.2 Априорные оценки.
3.3 Теорема существования.
Заключение.
Литература.

Введение.
Прочность хрупких тел существенно зависит от имеющихся в реальном твердом теле остроконечных деффектов, таких, как трещины, отверстия, включения инородных материалов и т.п. В процессе деформирования в окрестности таких деффектов возникает значительная концентрация напряжений, что приводит к образованию новых или росту уже имеющихся трещин и, как следствие, к локальному или полному разрушению тела. Исследование проблем теории трещин вызвано требованиями науки и техники и находит большое применение на практике.
В данной диссертации изучаются краевые задачи, описывающие термоупругое деформирование твердого тела, содержащего трещины и взаимодействующего с жестким штампом. Наличие трещины предполагает постановку краевой задачи в области с негладкой границей, состоящей из двух поверхностей, одна из которых ограничивает тело, а другая описывает форму трещины. Поэтому задавать краевые условия необходимо не только на внешней, но и на внутренней границе, которая сответствует берегам трещины.
Классический подход к задачам о трещинах предполагает задание на ее берегах значений функции перемещений точек тела или напряжений (см. [4, 8, 17-20, 24-27, 31-33]). Эти краевые условия имеют следующий вид:
<ГЦЧ = 9г ИЛИ Щ = /;,
где - компоненты тензора напряжений, и,- - компоненты вектора перемещений, и -нормаль к поверхности, описывающей форму трещины, /,-, <7; - некоторые заданные функции.
Для исследования задач теории трещин разработано несколько математических методов. К классическим подходам можно отнести применение аппарата теории функций комплексной переменной, который используется в работах Н.И. Мусхели-швили, В.А. Кондратьева, Г.П. Черепанова, В.З. Партона и др. (см. [7, 19, 20,

28, 29, 31-33]). Исследования в этой области направлены на изучение концентрации напряжений в окрестности кончика трещины. Получен критерий начала распространения трещины. Методом комплексных потенциалов и разложением в ряды Лорана в работе [21] решена задача об упругом равновесии плоскости с круговым включением и двумя симметрично размещенными на продолжении диаметра трещинами. Теория потенциалов, изложенная в монографии Д.В. Купрадзе (см. [11]), также получила применение к задачам о равновесии упругих тел, содержащих трещины. Для широкого класса проблем теории упругости используются методы факторизации и интегральных уравнений, предложенные Хопфом и Винером (см. [27]).
Краевые задачи для эллиптических операторов в областях с коническими и угловыми точками, с ребрами и остриями исследовались С.А. Назаровым, В.Г. Мазья и Б.А. Пламеневским (см. [15]). В частности, изучены вопросы о гладкости решения в окрестности сингулярных точек и исследована асимптотика решений эллиптических уравнений вблизи вершины трещины.
В статье С. А. Назарова (см. [22]) решена линейная задача о деформации составной анизотропной плоскости с трещиной. Предлагаются два подхода к определению напряженно - деформированного состояния вблизи вершины трещины: силовой и энергетический. Найдены все возможные степенные решения и показана общая связь между обычными и сингулярными решениями. Для случая прямолинейного распространения трещины вычислена асимптотика приращения потенциальной энергии.
В последнее время получили развитие методы, приводящие задачи теории упругости к квазивариационным неравенствам (см. [1, 3, 14, 40]). Рассмотрена контактная задача линейного программирования для нескольких тел (см. [58]).
Определение напряженно - деформированного состояния в окрестности нерегулярных точек для нелинейных задач теории упругости является достаточно сложным вопросом. Дж. Райсом и Г.П. Черепановым был предложен метод приближенного анализа концентрации напряжений вблизи нерегулярных точек, основанный на введении некоторого криволинейного интеграла, не зависящего от пути итегрирования вокруг сингулярной точки (см. [28, 38, 39]).

Из условий (4.7) и формулы Грина следует, что справедливы следующие тождества (в, Дь7 - Аш)п + (Ли;, Аш - Дш)п — ^ +
+ ^Ди> + 0, ^
-(А2са,иГ-ш)п = 0. (4.28)
Понизив порядок дифференцирования в выражении (4.28), получаем равенство
Ь(и!,й — ш) + (0, Де? — Да,)п + !м(ш), —+
+ (ЯИ.о, - и)г> - ^ - (в, = °-
Поскольку на границе Гх выполнены условия: Я(ы) = , 0 = 0, М(ш) = 0, то для
любой функции, удовлетворяющей условию непроникания, справедливо вариационное неравенство
Ь(ш,ш — ш) + (0, Аш — Дш)п > 0. (4.29)
Проинтегрируем сумму выражений (4.27) и (4.29) по I от 0 до Т. Таким образом, имеет место соотношение т
J (^B(W,W — IV) + Ь(ш,ш — ш) — Аш) — (^Q,divW — dWW^Sj (И > 0 (4.30)

Ух 6 Уравнение (1.1) умножим на 0 € 5х и проинтегрируем по цилиндру <3, тогда выполнено тождество
/ (Иг + 62§1^[У^ - -/)(©- вМ + / ^70('^70 - V0)c^g = о. ' (4.31)
о ' ' я
Суммируя выражения (4.30) и (4.31), получаем вариационное неравенство (2.15).