Краевые задачи для систем уравнений с частными производными высокого порядка, порожденных интерацией матричными операторами первого порядка

• Автор: Муллоева, Мавджигул Сафаровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 93 с.

Введение

Глава 1:Трёхмерный полиголоморфный вектор

§1. Общее представление голоморфного вектора

в полупространствах

§2. Фундаментальная матрица решений системы

§3. Решение неоднородной системы (0.16)

§4. Общее представление полиголоморфпого вектора

в полупространствах

§5. Формулы Сохоцкого для полиголоморфпого вектора

§6. Фундаментальная матрица решений системы(0.17)

§7. Решение неоднородной системы (0.18)
§8. Краевая задача в полупространстве для трехмерного
полиголоморфпого вектора
§9. Задача линейного сопряжения
Глава 2: Система составного типа высшего порядка
§1. Общее решение однородной системы
§2. Решение неоднородной системы
§3. Общее решение однородной системы (2.4)
§4. Решение неоднородной системы (2.5)
§5. Краевые задачи
Литература

Введение
Среди эллиптических систем уравнений с частными производными первого порядка на плоскости особое место занимает система Коши-Римана
Любое обобщенное решение системы (0.2) является аналитической функцией комплексной переменной г. Известно, что аналитические функции имеют многочисленные применения в приложениях, а также при исследовании многочисленных математических проблем, в частности, в задачах дифференциальных уравнений с частными производными.
Одним из важных обобщений системы Коши-Римана на плоскости является система (0.2) с младшими членами:
решения которой называют обобщенными аналитическими функциями. Теория этой системы достаточно полно развита в монографии И.Н.Векуа [11], и в работах его учеников и
последователей.
Естственно возникает интерес к исследованию уравнения, правая часть которого порождена итерацией оператора д/дг. А.В.Бицадзе [7| показал, что в некоторых областях,
да дь ді~~ду =
ди дь
ду дх
+ тг = 0.
(0.1)
Эта система в комплексной форме имеет вид:

(0.2)

+ Л(г)ш + В(г)'и) = 0,
(0.3)

задача Дирихле для системы

^ = 0, (0 4)
которая в вещественной форме имеет вид:
д2и д2и д2у
дх2 ду2 дхду
д2х д2х д2,и . .
ад ~ д^+2дхду = °’ ^ ^
является некорректной, т.с. однородная задача Дирихле имеет бесчисленное множество решений, в то время, как известно, для системы

г -Дге = 0, (0.6)
дгдг' 4"
задача Дирихле однозначно разрешима. Это явление связано с тем, что системы (0.4) и (0.6) принадлежат различным гомотопическим классам. А.Джураев [17] для довольно общих, чем (0.4) и (0.6) систем, указал краевую задачу, являющуюся однозначно разрешимой в достаточно широком классе областей. Так например, для систем (0.4) и (0.6) таковой является задача, когда на границе области задаются условия
д и
ДеЭДУгДг) = 0, Де—- = 0. (0.7)

Естественным обобщением системы Коши-Римана в трехмерном пространстве является система Мойеила-Теодорееко [23].
п-Чъ г)п I г. .

= о, (0.8)

ди 2 дщ | * 1 дщ
~дГ дх •Г ду
дщ дщ дщ
~дг ду + дх
ди{ дщ дщ
ду ~Ж
ди 1 дщ 1 дщ
ду дх "Г дt

М“1 =
Очевидно
И2 + 1С!2 /.

Vе т )

М2 + Ш

- 1СР -2 П
2гС (г2 - К!2)

Однако
Поэтому
а 1 (г Л -с ( 1 4+КР 2т2 (М2 + |С!2)2 24 (М2+!СГ2)
9т |т|2 + |С|2 Vе 2Сг 1 2 т
' V (т2 + |С|2)2 т2 + |С|2 (М2 + |С|2)2/
/ -(Г2-|С12) 24 ) т2 - |Д2 -2тС
(МДКР)2 (|Т[2+К12)2 (г)
2<т -(т2-!С12 (т2 + |С|2)2 V 2тС М2-|С|2у
V (М2+КГ2)2 (И2+£2)2 /
(м-1)2 =

Далее
Отсюда
Следоватолыг©
(М'1)3 = -гМ~1 — (М^),

(Д/Г1)3 = -г^{М~1) ■ м~1.
|длН)2 = Й-1~(Й~1) + Ыг1) ■ Й-1 * 2{(Й~1)3.
дт от от
Далее

_1 дМ-дт