Асимптотика решений некоторых классов самосопряженных дифференциальных уравнений и спектральные свойства операторов, связанных с ними

• Автор: Конечная, Наталья Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Архангельск
• Количество страниц: 110 с.

1 Линейные однородные дифференциальные уравнения, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка

1.1 Симметрические квазидифференциальные выражения

1.1.1 Симметрические дифференциальные выражения

Ф 1.1.2 Квазипронзводные и симметрические квазидифференциальные выражения

1.1.3 Основной класс симметрических квазидифференциальных выражений п + 1 - го порядка

1.2 Теорема о связи квазидифференциального уравнения п+ 1 - го порядка

с дифференциальным уравнением второго порядка

1.2.1 Формулировка основной теоремы

1.2.2 Доказательство

1.2.3 Доказательство

1.2.4 Замечание

® 1.3 Частные случаи дифференциального уравнения высокого порядка
1.3.1 Вид уравнения и + 1 - го порядка при малых значениях п
^ 1.3.2 Тождество Клаузена
1.3.3 Интеграл Никольсона для функции ^(х) + У?(х)
2 Свойства решений дифференциальных уравнений, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка
2.1 О числе нулей решений дифференциального уравнения второго порядка
2.1.1 Функция Коши дифференциального уравнения второго порядка

2.1.2 Итерационные ряды для функции Коши
2.1.3 Лемма
2.1.4 Нули решений дифференциального уравнения второго порядка
2.2 О числе нулей решений квазидифференциалыюго уравнения п + 1 - го порядка
2.2.1 Связь между числом нулей решений уравнений второго и п+1 - го порядков
2.2.2 Нули решений дифференциального уравнения высокого порядка
2.3 Асимптотика решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка
2.3.1 Асимптотика и оценки Лиувнлля-Грина для решений дифференциального уравнения второго порядка
2.3.2 Асимптотика решений дифференциальных уравнений
п + 1 - го порядка
2.3.3 Оценки решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка
2.4 Квазирегулярность дифференциального выражения п + 1 - го порядка
2.4.1 Минимальный и максимальный операторы. Индекс дефекта минимального оператора
2.4.2 Сингулярный дифференциальный оператор, порожденный выражением I
2.4.3 Критерий квазирегулярности выражения I
2.4.4 Признаки неквазирсгулярности выражения I
2.4.5 Признак квазирегулярности выражения I
3 Асимптотика решений и оценки типа Лиувилля-Грипа для одного класса систем дифференциальных уравнений
3.1 Теорема М.В. Федорюка
3.2 Асимптотика решений одного класса систем дифференциальных уравнений
3.2.1 Основной класс матриц Т1
3.2.2 Преобразование системы дифференциальных уравнений
3.2.3 Теорема об асимптотике решений системы дифференциальных уравнений

3.3 Оценки типа Лиувилля-Грина для решений дифференицальных уравнений высокого порядка
3.4 Примеры
3.5 Признаки квазирегулярности выражения т
3.6 Замечание
Литература

2.1.1 Функция Коши дифференциального уравнения второго порядка
Пусть р ид- вещественные функции на (а, 6) С К и д_1,<2 € С]ос{а,Ь). Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка (1.4). Согласно теореме 1.1.1 п. 1.1.2, если хо £ (а,Ь) и уо,ух - произвольные комплексные числа, то задача Коши для уравнения (1.4)
у{х о) = 2/0, р(х0)у'(х0)
имеет единственное решение, существующее при всех ж £ (а,Ь).
Пусть жо £ (а, Ь) - фиксированное число, (риф- решения уравнения (1.4), удовлетворяющие начальным условиям <р(хо) = (рф')(хо) = 1, (р<р')(хо) = ф(хо) = 0. Функции риф образуют линейно независимую систему решений уравнения (1.4), так как определитель Вронского для этих функций не обращается в пуль в точке х$.
Обозначим через и(х,Ь) функцию Коши уравнения (1.4), т.е. решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
и{х,Ь) |я=<= 0 и р(ж)н/(жД) х=х= 1.
Тогда справедливо равенство
и(х, 2) = ф{х)(р{1) — ф{1)(р{х). (2.1)
Действительно, представим функцию Коши в виде
и(х, 2) = Сх(Ь)<р(х) + с2(Ь)ф{х).
Продифференцировав обе части равенства нож и подставив ж = 2, получим