Краевые задачи для уравнений Эйлера-Дарбу с условиями сопряжения на характеристике и нехарактеристической линии

• Автор: Подклетнова, Светлана Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 98 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
§ 1. Некоторые сведения о решениях известных краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу
§ 2. Две задачи Дарбу с краевыми условиями на перпендикулярных характеристиках
Глава II. ЗАДАЧА Е ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ «С ДВУМЯ ЛИНИЯМИ
ВЫРОЖДЕНИЯ» И ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 1. Постановка задачи и единственность ее решения
§ 2. Доказательство теоремы существования
Глава III. ПОСТАНОВКА ДВУХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ДАРБУ,
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ИХ РЕШЕНИЙ
§ 1. Постановка двух краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу и единственность их
решений
§ 2. Теорема существования решения задачи
§ 3. Теорема существования решения задачи
Глава IV. ЕДИНСТВЕННОСТЬ И СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ СМЕШАННОГО ТИПА
§ 1. Постановка задачи для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа и
единственность ее решения
§ 2. Приведение краевой задачи к сингулярному уравнению
§ 3. Теорема существования
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Фундаментальные исследования по теории дифференциальных уравнений с частными производными были проведены такими авторами как Ф. Трикоми [37], М. Пуассон [49],
С. Геллерстедт [46] и [47], A.B. Бицадзе [7], Ф.И. Франкль [40] - [43], К.И. Бабенко [3], JI. Берс [6] и др.
В настоящей диссертации предложено к рассмотрению лишь одно из многочисленных дифференциальных уравнений с частными производными — уравнение Эйлера-Дарбу.
Впервые это уравнение было рассмотрено Эйлером в связи с изучением движения воздуха в трубах постоянного и переменного сечений, а также колебания струн переменной толщины. Самое общее решение этого уравнения, как и вообще линейного уравнения гиперболического типа, было дано Риманом. Им же [30] было показано, что точное уравнение адиабатического движения газа в трубе постоянного сечения в случае, когда во всех частицах энтропия единичной массы одна и та же, в характеристических координатах сводится к уравнению, рассмотренному Эйлером.
Позже это уравнение было изучено С. Пуассоном [49], Г. Дарбу [48].
Среди работ в этом направлении следует отметить книгу A.B. Бицадзе [7], статью
А.М. Нахушева [27], статью В.Ф. Волкодавова и Н.Я. Николаева [16], учебное пособие В.Ф. Вол-кодавова и Н.Я. Николаева [15], статью В.В. Пергунова [29], статью В.Ф. Волкодавова и В.В. Пергунова [17], работу В.Ф. Волкодавова и A.A. Андреева [1] и др.
Многие уравнения смешанного типа в областях своей гиперболичности сводятся к уравнению Эйлера-Дарбу. Так, например, обобщенное уравнение Трикоми, уравнение Кароля, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа и ряд уравнений смешанного типа с вырождением типа и порядка. Вышеперечисленные результаты, разумеется, не охватывают всей полноты исследований с точки зрения обоснования существования и единственности решения краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу. Однако основные исследования отмечены.
В начале 90-х годов в статье [20] В.Ф. Волкодавовым был поставлен ряд краевых задач со специальными условиями сопряжения на характеристике для уравнений гиперболического типа. Введение этих условий связано с трудностями, возникшими при решении некоторых краевых задач для уравнений гиперболического типа с непрерывными условиями сопряжения. В связи с тем, что эти задачи были введены сравнительно недавно, эта тема еще мало разработана и рассматривались такие задачи пока только учениками В.Ф. Волкодавова. Начальными работами по этой теме были статьи, написанные В.Ф. Волкодавовым [20], О.Г. Аристовой [2], И.Н. Федоровым [38], В.Ф. Волкодавовым и И.М. Сергиевской [18].
В представленной диссертации рассматриваются три краевые задачи для уравнения Эйлера-Дарбу, две из которых основаны на склеивании решений задачи Е (одной из задач, поставленных
В.Ф. Волкодавовым в статье [19]) и задач Дарбу для уравнения Эйлера-Дарбу с положительными параметрами, поставленных и решенных в настоящей диссертации, а третья - на склеивании решений задачи Е и задачи Дирихле для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу смешанного типа, решенной В.В. Пергуновым в своей диссертационной работе [28].
Первоначально целью настоящей диссертации являлось рассмотрение этих задач с последующим сравнением как существования или несуществования решений поставленных задач, так и методов доказательства теорем существования и единственности их решений, конечно, в случае, если эти теоремы имеют место, и результатов, полученных при этом. Эта идея кажется тем более интересной, что задачи первоначально должны были отличаться лишь одним из краевых условий, поставленным на границе области в первых двух задачах и на бесконечности (которая в формальном смысле так же является границей бесконечной области) в третьей. Но в процессе решения в условиях двух из поставленных задач произошли некоторые изменения, которые, как можно было ожидать, были подобны в обоих случаях, и в связи с этим результат диссертации стал охватывать не только все изложенное выше, но и возможную модификацию задач подобных поставленным в диссертационной работе.
Перейдем к краткому изложению содержания глав диссертации.
Предлагаемая диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Первая глава целиком посвящена вспомогательным результатам и служит проведению дальнейших исследований.
Во второй главе проводится доказательство существования (второй параграф) и единственности (первый параграф) решения задачи Е для уравнения Эйлера-Дарбу с двумя линиями вырождения. Это уравнение рассматривается впервые и получено в результате склеивания уравнения Эйлера-Дарбу в характеристических координатах с уравнением, симметричным ему относительно прямой =0.
Третья глава диссертации посвящена постановке двух краевых задач для уравнения Эйлера-Дарбу с двумя линиями вырождения и теоремам существования и единственности их решения. Эти задачи, как уже указывалось, появились в результате склеивания задачи Е и задач Дарбу для этого уравнения.
В первом параграфе этой главы дана постановка этих задач и доказаны теоремы единственности их решения на основе доказанной здесь же лемме о новом принципе локального экстремума.
Во втором параграфе доказывается теорема существования первой из поставленных задач, а в третьем параграфе — теорема существования второй задачи.
И, наконец, четвертая, заключительная глава диссертации посвящена доказательству суще-

Ч (л)=а{т))т+{]т), (3.1.1)
Уо(*1 ) = Ь(т))-у(т]), (3.1.2)
где г0(?;),г+ (г/),у0(??) иу+(ц), определяются соответственно формулами (1.1.7) в области <30,
первой из формул (1.1.2) в области И+, (1.1.8) в области О0 и второй из формул (1.1.2) в облас-
ти б+.
Задача 3.1.2. На множестве б найти функцию удовлетворяющую условиям:
1) и(£,Г]), непрерывна в Сг0 и6_ иС+ / /, //2, где 7, = {(<*, ?/1 £ = 0, 0 < 77 < /г}, 72={(05 = 7<й};
2) и{,р) является решением уравнения (2.1.1) на множестве С1 ;
3) и(7) удовлетворяет первому краевому условию (1.1.5) и условию (1.2.13);
4) и(£,г}) удовлетворяет условиям сопряжения (2.1.4) и (2.1.5);
5) и(,т]) удовлетворяет условиям склеивания (3.1.1) и (3.1.2).
2. Новый принцип локального экстремума для уравнения Эйлера-Дарбу «с двумя линиями вырождения».
Лемма 3.1.1. Если и(,р) - решение уравнения (2.1.1) на множестве С+ иС_ таково, что и(,)=т+() достигает наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ = £ о, а и(,Д) = т_()= 0, то значение функции () = Пт (£ - г/)“*1' [иг -ип) в точ-
ке 4 = 4 больше нуля (меньше нуля) при выполнении условий теоремы существования и един-
ственности решения задачи Е и < а( -а), где /(?;) = £(77) = 0.
А + В
Доказательство. При решении задачи Е для уравнения (2.1.1) нами было найдено соотношение (2.1.29). Пусть в этой формуле т_(£)= б(р) = у(д) = 0, тогда функция Л'+ {р) при р = % будет определяться формулой
« (
Л7+(#) = ВС£“+А_1 Гт+(г>-а(-/У"1/!’ 1 - а - ЯД, 2 - а; ——- Л. (3.1.3)
о I
Положим в формуле (1.1.10) £ = л ик обеим частям полученного равенства применим оператор (2.1.11). Будем иметь