Исследование динамики тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта

• Автор: Егорова, Алена Андреевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 70 с.

Содержание
1 ВВЕДЕНИЕ
1.1 Постановка задачи
1.2 К теории усреднения тонких упругих стержней
1.3 Асимптотический метод усреднения
1.4 Пример усреднения задачи теории упругости
1.5 Задача теории линейной вязко-упругости
1.6 Предварительные сведения
1.7 Краткий обзор содержания диссертации
2 Построение формального асимптотического
разложения(ф.а.р.) решения для задачи вязкоупругости в тонком неоднородном стержне из материала Кельвина— Фойгхта
2.1 Постановка задачи
2.2 Формальное асимптотическое разложение
2.3 Задачи для матриц-функций на ячейках периодичности
2.4 Задачи для вектор-функций -г9г(^, ад,х/е)
2.5 Исследование прибавочных матриц дч1, кф(£)
2.6 Усредненные уравнения
2.7 Обоснование асимптотического разложения. Оценки
остаточного члена
3 Построение ф.а.р. решения задачи вязкоупругости для тонкого неоднородного стержня из материала Кельвина-Фойгхта при наличии сосредоточенных и распределенных сил
и моментов
3.1 Постановка задачи
3.2 Формальное асимптотическое разложение
3.3 Задачи для матриц-функций Nql(£)
3.4 Задачи для гд1^,Х1,х/е)
3.5 Обоснование асимптотического разложения. Оценки
остаточного члена

1 ВВЕДЕНИЕ
1.1 Постановка задачи
В диссертации рассматривается задача из теории дифференциальных уравнений в частных производных, имеющая важное прикладное значение — исследование динамики тонкого периодически неоднородного стержня при помощи теории усреднения, развитой школой Н.С. Бахвалова.
Задачей данной работы являются построение и строгое обоснование асимптотического разложения по степеням малого параметра е, характеризующего толщину стержня и период неоднородности, решения трехмерной задачи линейной вязко-упругости в случае материала Кельвина-Фойгхта. В ходе построения асимптотического решения возникают так называемые задачи на ячейках периодичности. Нашей целью является доказательство разрешимости этих задач, а также вычисление коэффициентов усредненной системы уравнений, исследование явления пограничного слоя около торцов стержня, доказательство оценки разности между решениями исходной и усредненной задач.
Важное отличие случая тонкого стержня, рассматриваемого нами, состоит в том, что усредненное поведение зависит от двух малых параметров, в нашем случае одинаковых: периода структуры стержня и его диаметра. В результате этого усредненные уравнения для продольного колебания стержня отличаются от уравнений колебаний в поперечном направлении, которые удовлетворяют классическим уравнениям колебаний однородного упругого стержня.
Вторым важным отличием является то, что материал стержня является вязко-упругим. Вследствие этого в эффективной модели возникают интегральные члены типа свертки, и колебания в продольном направлении и закручивание стержня описываются интегро-дифференциальными уравнениями с долговременной памятью.
1.2 К теории усреднения тонких упругих стержней
Теория тонких стержней, являющаяся одной из важных прикладных дисциплин, имеет давнюю историю. Прежде всего нужно упомянуть так называемые технические теории изгиба стержней. В них упрощение трехмерных уравнений теории упругости для неоднородных стержней связано с использованием гипотезы о возможности замены неоднородного стержня однородным. В ряде случаев дополнительно предполагаются выполненными те или иные допущения, накладывающие ограничения на структуру тензоров напряжений и деформаций. При этом цели и методика исследований не подразумевают строгого математического обоснования указанного предельного перехода. Основы современной теории стержней заложены А. Клебшем [1]. Дальнейшее развитие теория стержней получила в трудах [2],[3]. К настоящему времени технической теории изгиба стержней изотропных и анизотропных, прямых и искривленных посвящено огромное количество работ. Можно упомянуть, например, монографии [4],[5],[6], статьи [7],[8]. Технические теории многие десятилетия используются в инженерных расчетах, но вопросы об условиях их применимости, обеспечиваемой точности приближения и, вообще, об адекватности одномерных моделей реальным объектам остаются открытыми до сих пор.
Явное вхождение малого параметра в задачи о стержнях, пластинах и оболочках сделало их привлекательными для математиков, и к настоящему времени опубликовано большое количество работ российских и зарубежных авторов, посвященных асимптотическому анализу задач теории упругости. Упомянем монографии Бахвалова и Панасенко [9], Олейник, Иосифьян и Шамаева [10], Санчес-Паленсии [11]; работы посвященные тонким пластинам [12], [13], [14]. В работах [15], [16] рассматривается тонкий неоднородный упругий стержень, испытывающий на торцах действие сил и моментов, а в [17] исследуется елабоискривленный тонкий упругий
Это противоречие доказывает > 0. Рассмотрим теперь элементы кд|
матриц 502, ^02- Имеем
Используя свойства симметричности (21) для получим
22 /Л1Л+в112^ =
- / — (а1 4- о1 12У Р ц_ /п (а1 ^ , 1 12е
I тщ р£ 7п1 ) ^2 ) + < ПТп'ггц ££ ат1 /Ч2 )
С»и V ^ У /д ^ / (0,1) X 9/
Если мы напишем интегральное тождество для решения Z^l задачи (34) С пробной функцией Ф = (^2;0,0)Г, то получим, что выражение выше равно нулю. Следовательно, = 0. Аналогичными рассуждениями получим цепочку равенств
*=<м!#+<)^)” - <(“?/'+«:/'‘Щ)д
= /я ("о0 и 4- н1 й ^ dZoi r _ / ( д / о и , 1 ц д <9^01 ^
”Ъ /(о,ц«» и&«( го< Д а«, ) 6/е'
Тогда, учитывая задачу (35) для определения Дл(£,£) при В,0 = Лт = 0, получим, что кЦ = 0. Аналогично доказывается, что д^,, &о| = 0. Докажем, что 9о1 = 0, кЦ = 0: