Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения

• Автор: Барова, Евгения Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 121 с.

Глава 1. Задачи для уравнения смешанного типа с краевыми условиями на всей границе области
§ 1.1. Задачи Дарбу. Принцип локального
экстремума
§ 1.2. Единственность и существование
решения задачи Дирихле
§ 1.3. Задачи со смешанными краевыми условиями на всей
границе области
Глава 2. Задачи типа Трикоми для уравнений
смешанного типа
§ 2.1. Задачи Дарбу в области
гиперболичности. Принципы локального экстремума
§ 2.2. Доказательство единственности и
существования решения задачи VI
§ 2.3. Доказательство единственности и
существования решения задачи
Литература

Одним из важнейших разделов в теории дифференциальных уравнений с частными производными является теория уравнений смешанного типа. Простейшим уравнением смешанного эллиптико-гиперболичеекого типа на плоскости является уравнение
1JUXX + иуу = 0. (1)
Известной краевой задачей для такого уравнения является задача Трикоми. Она впервые была решена самим Ф. Трикоми в 20-е годы XX века. Результаты, полученные Ф. Трикоми, были развиты С. Гел-лерстедтом для уравнения
У2т+1ихх + иуу = 0.
Ф. II. Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. И. Н. Векуа указал на важность проблемы уравнений смешанного типа при решении задач, возникающих в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, а также в безмомеитной теории оболочек с кривизной переменного знака. А. В. Бицадзе впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа. М. А. Лаврентьевым была предложена более простая модель уравнения смешанного типа
иХх + sgn у-Uyy — О,
для которого вычисления проводятся с меньшими трудностями, чем в аналогичных задачах по уравнению (I).
В дальнейшем были поставлены и исследованы новые задачи для уравнения смешанного типа как в нашей стране (В.Ф. Волкодаг bob, В.Н. Врагов, Т.Д. Джураев, В.И. Жегалов, Т.Ш. Кальмеиов, А.И. Кожанов, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, М.Е. Лернер, Е.И. Моисеев, Л.М. Иахушев, С.М. Пономарёв, С.П. Пулькин, Л.С. Пуль-кииа, O.A. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитднов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, Р.С Хайруллин, Л.И. Чибрикова, Хе Кан Чер н другие), так и за рубежом (S. Germain, R Bader, S Agmon, L. Nirenberg, M.N. Prottcr, C. Morawetz, P.O. Lax, M. Schneider, A.K. Aziz, G.D. Dacher и другие).
В последние годы В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, для

которых линия изменения типа ость их характеристика. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с щхшзводной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в работе Волкодавова В.Ф., Наумова О.Ю. [18], где рассмотрена краевая задача для уравнения

Ихх "Ь Нуу, У
иху, у < 0.
Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.О. Плотниковой [43] для частных случаев уравнения гиперболического типа
иху + а(х, у)их + Ь(л, у)иу + с{х, у)и — 0 и уравнения смешанного типа

/ Ихх
иПI
XX + иуу ~ А«, У > б, А = СОЛвЬ,
+ А и, у < 0.
II.А. Куликовой! в работе [33] изучены краевые задачи, условие сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для уравнений
Ьи = их„ Н щ = 0, о € К, а
х + у
в ограниченной области и
5 (и) = иху + —— (их + иу) = 0, 0 < 2у < 1,
" х + у
в неограниченной области.
Данная диссертационная работа посвящена постановке и доказательству существования и единственности решении краевых задач с аналогичными условиями сопряжения для уравнений
г _ Г Ихх + Иуу = 0, у > 0, /0
иХу + у [1п а (л)]' Ну = 0, у < 0,
у € /?, у ф 0; а (л) 6 С1 [0, 1]; а (х) > 0, л £ [0, 1], и

Ихх Нуу Их — 0, ?/ > 0, 0 < р < 1,
Ьи = р 1 (3)
и*у + 2 (и* + иУ) = °’ у < °-

Во г,сох интегралах слагаемых Рі (у) выполним замену ,ч = (1-у)г. Тогда

Ц (в) = (1 - УҐп 1п (1 - у) / Я1 ((1 - у) г) (1 - гГ' Лг+

+ (1 - у)'~Гх ! $ ((1-у) г) (І- г)~Гі ІІ1 (1 - г) с!г о
Рассмотрим первое слагаемое. Очевидно, что (1 - г/)1-Г11п (1 — у) Є Ср/2, 1]. Согласно теореме о непрерывности функции, зависящей от параметра [СО, т. 2, с. 721], в силу того, что как (}' ((1 - у) г) Є Ср/2, 1; 0, 1], а (1 — 2)“г‘ - абсолютно интегрируемая функция на

[О, 1], имеем /<3'((1 - у) г) (1 - г)~Гі (Іг Є Ср/2, 1]. Следователь
но, первое слагаемое непрерывно на р/2, 1]. Аналогично доказывается, что второе слагаемое непрерывно на [1 /2, 1]. Таким образом, ^ (у) Є Ср/2,1].
Аналогично доказывается непрерывность Е/ (у), і = 2,3. Рассмотрим

^і(у) = п(у- у2)(1-у)1”г‘У'@(з(1-у)г)(1 -г)~Г1йг.

По той же теореме Р? (у) Є С (Уг, 1], а при у -> У2 имеет логари<]>-мичсскую особенность. Теперь исследуем функцию

а5 (у) = (1 - У) ІЯ'«1 - у)г) (‘А - (1 -1») 2)"г‘ X

хНл (2) Гь 1; 3’ 2; 1-2(1-у) г) (1г
Если у Є (1 /2, 1 ], то подинтегралытя функция непрерывна на У/2, 1]. Тогда, согласно теореме о непрерывности интеграла от непрерывной функции [60, т. 2, с. 711], іУ (у) Є С (]/г, 1]. Пусть у —> у2 . Тогда согласно теореме о непрерывности функции, зависящей от параметра

Ііиі Е1Уу)=2г>-1 /дуу2)(1 -г)~г'(1г = с.