Аппроксимация области асимптотической устойчивости при помощи полиэдров

• Автор: Моисеенко, Татьяна Семеновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 116 c. : ил

ГЛАВА I. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ АППРОКСИМАЦИИ ОБЛАСТИ

АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ К ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ

§ I. Постановка задачи. Основные определения

§ 2. Возможность аппроксимации области асимптотической устойчивости при помощи полиэдров

§ 3. Сведение исходной задачи к экстремальной

§ 4. Использование линейных форм, заданных на гранях полиэдра, в качестве векторных функций Ляпунова

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

§ 5. О поведении траекторий на гранях полиэдра

§ 6. Аппроксимация области притяжения на

плоскости

§ 7. Аппроксимация области притяжения в т -мерном пространстве

§ 8. Построение нового симплициального разбиения
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВВДЕНИЕ
В современной теории дифференциальных уравнений большой интерес представляет задача устойчивости движения [I] . Она заключается в следующем. Пусть задана автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений
( =С1 » • • • , зет4) , в , (0.1)
правые части которой в области хь^н, 8=ь---1Гп удовлетворяют условиям существования и единственности решения задачи Коши, и £8(0, • • . , О') = О , в ,т . Нулевое решение
0С5( ^ = О , 1 е СО , ОО) , 5= ], ■ • . , ГП этой системы называется устойчивым по Ляпунову, если для любого £>0 существует такое 'о^О , что из неравенства следует I ос§(±, Х°)| ^ £ для всех =-0 , б= -1, . . .,т . Здесь Х° = (хч(0^, • • • , эс5с 0')')т . Если найдется такое Б
что при |ос5(0)| соответствующее решение стягивается к нулю, т.е.
I хьИ:,Х0)| —>- 0 , -ъ -*~®о , 5= А, . . . , гг> , (0.2)
то нулевое решение называется асимптотически устойчивым по Ляпунову. Однако при исследовании конкретных физических или технических объектов бывает недостаточно установления факта существования того или иного динамического свойства (например, асимптотической устойчивости).
Огромное значение при исследовании конкретных систем имеет решение такой задачи, как получение [2, 3] оценок области асимптотической устойчивости (Я) - множества всех начальных отклонений, для которых выполняется условие (0.2). Таким образом, задача построения области асимптотической устойчивости или её

приближенной оценки помимо чисто академического интереса имеет важное прикладное значение и является актуальной.
Несмотря на то, что В.И.Зубовым в [4] установлена теоретическая возможность получения точных оценок с помощью функций Ляпунова и найдено уравнение границы ЪЯ области асимптотической устойчивости, проблему и до настоящего времени нельзя считать закрытой. Она ждет своего полного решения. Дело в том, что метод Зубова приводит к уравнению в частных производных, для которого найти решение в замкнутой форме можно лишь в самых простых случаях. В связи с этим важное значение приобретает задача о построении оценок области асимптотической устойчивости. Этой задаче посвящены труды многих авторов [8-23, 25-28]. Очевидно, что простые способы дают грубые оценки и, наоборот, получение более точных оценок приводит к усложнению способа построения.
В диссертации предлагается аппроксимировать область асимптотической устойчивости при помощи полиэдров, имеющих заданное количество граней. При этом исходная задача приводит к задаче нелинейного программирования. Показано, что полиэдры, являющиеся решением экстремальной задачи, сколь угодно точно могут аппроксимировать область Я . Для решения экстремальной задачи предложен численный метод, являющийся по своей сути градиентным. Таким образом, предложен новый подход к решению задачи о построении области асимптотической устойчивости (или области притяжения), основанный на качественной теории дифференциальных уравнений, втором методе Ляпунова и многомерной геометрии.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и приложения. Нумерация параграфов сквозная, нумерация теорем, определений и формул следующая: первая цифра означает номер па-

при движении вершины Я; , то при построении последующих приближений вершины Я •1_, и Я 1+, следует оставить без изменений.
Последовательность чисел I у*к= )} монотонно возрастает. Если область Я ограничена, то эта последовательность также ограничена и, следовательно, имеет предел
&-ГГ) = Тй <£ оо . (6.10)
К—>оо
Если область асимптотической устойчивости не ограничена, то
эта последовательность может неограниченно возрастать:
^тг' = 6X0 •
К —> оо
Покажем, что при условии (6.10) последовательность многоугольников { сходится к многоугольнику Мп м , оптимальному в смысле определения 3.4.

Обозначим число г.‘,° в формуле (6.9) буквой . Из фора о
мулы (6.3) для площади многоугольника следует, что ]и(Мп^ на 2-м этапе есть линейная функция . Последовательность чисел {улк~ монотонно возрастает и ограничена:
Як ^ ^ 0,4,2,
В силу линейности функции 34 * ОТ «к. существует
(ПтТГк='С*'Аоо.
К.—► оо
Из сходящейся последовательности {можно выделить монотонно убывающую подпоследовательность . Соответствующая ей последовательность многоугольников при сходится к
некоторому многоугольнику Мп ы , причем

Многоугольник оптимальный в смысле определения 3.4. Действительно, в противном случае в силу непрерывности поля направлений любым, сколь угодно малым изменением вершин можно добиться увеличения площади .