Оптимальное мультипликативное управление гармоническими волновыми процессами

• Автор: Савенкова, Анастасия Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 97 с.

Оглавление
Введение
Обозначения и символы
1 Задача управления для уравнения Гельмгольца в ограниченной области
1.1 Рассеяние акустических волн, гармонически зависящих от
времени. Уравнение Гельмгольца
1.2 Постановка и разрешимость прямой задачи
1.2.1 Физический смысл ограничений. Выбор условий на волновое число и импеданс
1.2.2 Функциональные пространства. Определение слабого решения
1.2.3 Разрешимость прямой задачи
1.3 Постановка и разрешимость задачи управления
1.4 Вывод системы оптимальности
1.5 Условия единственности решения системы оптимальности
2 Задача управления для уравнения Гельмгольца в неограниченной области
2.1 Постановка и разрешимость краевой задачи
2.1.1 Априорная оценка слабого решения

2.1.2 Связь между условиями излучения и принадлежностью решения пространству V
2.1.3 Свойства отображения Ф:а-+и
2.2 Постановка и разрешимость задачи управления
2.2.1 Существование решений задачи управления
2.2.2 Изолированность решений
2.3 Вывод системы оптимальности
2.4 Свойства множества решений задачи оптимального управления
2.5 Принцип bang-bang для оптимального управления
2.6 Вывод априорной оценки для сопряженного состояния
2.7 Асимптотика оптимального решения по параметру регуляризации
3 Задача управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме
3.1 Распространение электромагнитных волн, гармонически
зависящих от времени. Уравнения Максвелла
3.2 Постановка и разрешимость краевой задачи
3.3 Постановка и разрешимость задачи управления
3.4 Вывод системы оптимальности
3.5 Вывод условий единственности и устойчивости решения задачи оптимального управления
3.6 Регулярность решения краевой задачи
Заключение
Литература

Введение
1. Задачи рассеяния акустических и электромагнитных волн играют важную роль во многих областях прикладных наук. Акустические и электромагнитные волны используются и исследуются в таких разных областях, как медицина, ультразвуковая томография, оптика, материаловедение, неразрушающее тестирование, удаленное обследование, радиолокация, аэронавтика, сейсмические исследования [55], [93].
Существует два основных подхода для рассмотрения задач данного класса. Первый рассматривает задачу в четырехмерном пространстве (включая время), второй — в области только пространственных переменными за счет перехода к гармоническим по времени функциям. В работе будет использоваться второй подход, связанный с изучением стационарных волновых полей акустической или электромагнитной природы в гармоническом режиме.
К 50-м годам XX века основные вопросы, касающиеся линейных эллиптических уравнений второго порядка в ограниченной области с гладкими коэффициентами и границами области были изучены практически полностью. Далее вопросы решения таких задач стали рассматриваться с позиции функционального анализа в работах Г. Вейля, М.И. Витпика,
O.A. Ладыженской |22], [23], С.Г. Михлина, Д. Гилбарг, Н. Трудингер [14], К.О. Фридрихса и других авторов. Задача сводилась к исследованию уравнения х + Ах = / с вполне непрерывным оператором А в некоторых гильбертовых пространствах, были получены результаты о существовании обобщенных решений.

[ а2(/32-а2)(13- [ (/32 - а2)и2У1 5 + [ (р2 - а2)щу2 йв > О, V/?2
Складывая последние два неравенства, получаем
Яе [(6а + иУ){р-а)} с13>0, V/3 £ К. (1.41)
Сопряженная система (1.40), ограничения (1.20)—(1. 22) и вариационное неравенство (1.41) представляют собой систему оптимальностж.
Данную систему оптимальности можно использовать для нахождения оптимального управления а и отвечающего ему распределения амплитуды звукового давления и в области П.
1.5 Условия единственности решения системы оптимальности
Найдем достаточные условия единственности решения системы оптимальности при 5 > 0.
Пусть существуют два различных оптимальных управления ац, а2, которым соответствуют решения щ,и2 и сопряженные СОСТОЯНИЯ Уг,У2-Запишем вариационное неравенство (1.41) для каждого из решений:
Ие [(йен + щУх)(р - аД] > 0, V (3 € К.