Исследование дифференциальных уравнений с подчиненными операторами и приближенные методы их решения

• Автор: Виноградова, Полина Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 268 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Проекционные методы решения задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений

§1. Метод Фаэдо-Галёркина для линейных нестационарных

уравнений

§2. Метод Фаэдо-Галёркина для линейных уравнений в случае

положительности подчиненного оператора

§3. Метод Фаэдо-Галёркина для квазилинейных уравнений с

монотонным оператором

§4. Метод Фаэдо-Галёркина для квазилинейных уравнений с

немонотонным оператором

ГЛАВА 2. Проекционно-разностные методы для дифферен-
циальноно-операторных уравнений
§1. Проекционно-разностный метод для линейных уравнений
на основе трехслойных разностных схем
§2. Проекционно-разностный метод для линейных уравнений
на основе схемы Кранка-Николсон
§3. Проекционно-разностный метод для уравнений с монотонным
оператором на основе двухслойной разностной схемы
§4. Линеаризованный проекционно-разностный метод для
уравнений с монотонным оператором
ГЛАВА 3. Приложения проекционных и разностных методов к решению начально-краевых задач в цилиндрических областях
§1. Функциональные пространства и вспомогательные
утверждения
§2. Начально-краевые задачи для линейных параболических
уравнений в цилиндрических областях
§3. Квазилинейные уравнения в цилиндрических областях
§4. Задача тепловой конвекции в замкнутой области
ГЛАВА 4. Приложения проекционных и разностных методов к решению начально-краевых задач в нецилиндрических областях
§1. Линейные параболические уравнения высших порядков от
одной пространственной переменной
§2. Линейные параболические уравнения от двух пространствен-

ных переменных
§3. Квазилинейные уравнения высших порядков от одной
пространственной переменной
§4. Метод Ротэ для системы уравнений Бюргерса в
нецилиндрической области
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию разрешимости задачи Коши для нестационарных операторных уравнений первого порядка с подчиненными операторами в сепарабельном гильбертовом пространстве, а также разработке и обоснованию приближенных методов решения указанных уравнений на основе проекционных и сеточных методов. При специальном выборе проекционных подпространств доказаны теоремы о разрешимости аппроксимаци-онных уравнений, исследована зависимость асимптотических оценок скорости сходимости рассматриваемых приближенных методов от порядка подчинения дополнительных членов главному оператору уравнения в равномерной по временной переменной топологии. Предлагаемые приближенные методы позволяют провести качественный анализ решений исследуемых уравнений. Из полученных оценок погрешности следует, что построенные приближенные решения дают достаточно полное представление о поведении точного решения. Развитая в диссертации теория для абстрактных дифференциально-операторных уравнений дала возможность установить теоремы существования и получить новые оценки скорости сходимости проекционных и проекционно-разностных методов решения начально-краевых задач для линейных и квазилинейных нестационарных уравнений в цилиндре и в областях с подвижной границей. В частности, разработанная методика использована при исследовании начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений, описывающих движение бароклинной жидкости, уравнений тепловой конвекции, двумерной системы уравнений Бюргерса.
Актуальность темы. Одним из важных направлений современной математики является исследование операторных уравнений. Здесь мы имеем ряд обстоятельных монографий и обзоров, среди которых отметим книги Ф.Е. Браудера [146], Ж.-Л. Лионса [77], X. Гаевского, К. Грёгера и К. Захариаса [25], М.М. Вайнберга [13], С.Г. Крейна [68], Н.О. Fattorini [156], E. Zeidler [184], а также обзоры Ю.А. Дубинского [38], [39], И.В. Скрыпника [112], Р.И. Качуровского [58]. Операторный подход позволяет исследовать довольно широкий класс уравнений. Различные виды уравнений, такие как линейные и нелинейные дифференциальные уравнения, интегральные, интегро-диффе-ренциальные и функциональные уравнения можно трактовать как абстрактные операторные уравнения и применять к ним методы функционального анализа и теории операторов, которые позволяют эффективно исследовать не только вопросы существования и единственности, но и алгоритмы нахождения приближенных решений.

следовательно, оператор ^ + А(£)^ компактен в 7/2(0, Т; Н). Из компактности оператора ^+Л(£)^ и неравенства (1.1.17) получаем компактность
оператора К(£) ^;|+А(£)у в пространстве 7/2(0, Т; 77). Для доказательства
разрешимости уравнения (1.1.15) воспользуемся альтернативой Фредгольма (см., напр., [65], с. 468). Однородное уравнение (1.1.15) равносильно следующей задаче Коши
м'(*) + А(£)и(£) + 7Г(£)и(£) = 0, м(0) = 0. (1.1.18)
Пусть и{Ь) - решение задачи (1.1.18). Тогда, используя подчиненность оператора 77(£) оператору А(£), получаем

J ||и'(£) + А{{)и(Ь)\2(И < С J ||А(£)и(£)||2а||и(£)||2^1_°^£ о о
для любого 0 < в < Т. Отсюда и из неравенства коэрцитивности следует оценка

J \и'^)\2(И + ! ||А(£)и(£)||27£ < С J ||А(£)г4(£)||2а:||п(£)||2^1_“^£.
0 0 о
Используя неравенство Гёльдера, имеем

J 1К(*)Ц2<й + I \А{*)Ф)\2М < с{^! ||А(£)и(£)||2^ ^ ЫЩ

Применим к правой части последнего соотношения неравенство Юнга:

1 (о: 1_“ _1_
аЬ < еаа + I — (1 — а)Ы-<*,
справедливое при любом е > 0 для произвольных а, Ь и а £ (0,1). Тогда
J 1К(*)Ц2^ + J ||А(£)и(£)||2сЙ <