Краевые задачи для лапласиана со сменой типа граничного условия на множествах, стягивающихся к кривой

• Автор: Планида, Марина Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 89 с. : ил.

Глава 1. Сходимость решений возмущенных задач

§1. Сходимость решений и собственных элементов в задаче со

сменой типа граничного условия на узкой полоске

§2. Сходимость решений и собственных элементов в задаче с вырезанным тонким телом

Глава 2. Асимптотики собственных элементов в задаче со сменой типа граничного условия на узкой полоске

§1. Построение первых членов асимптотик

§2. Внешнее разложение

§3. Внутреннее разложение

§4. Доказательство теоремы 0

Глава 3. Асимптотики собственных элементов в задаче с вырезанным тонким телом

§1. Построение первых членов асимптотик

§2. Внешнее разложение
§3. Внутреннее разложение
§4. Доказательство теоремы 0
Литература

Краевые задачи с различного рода сингулярными возмущениями привлекают внимание многих специалистов в области дифференциальных уравнений и математической физики. Интерес к этим задачам объясняется, с одной стороны, тем, что сингулярно возмущенные краевые задачи часто возникают как математические модели в различных приложениях, а с другой стороны, - наличием у этих задач разнообразных свойств, интересных с математической точки зрения. Примерами такого рода могут служить эллиптические краевые задачи для уравнений с малым параметром при старшей производной, краевые задачи в области с вырезанными малыми отверстиями, с тонкими включениями и щелями, с узкими отростками и каналами связи, краевые задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границы, с концентрированными массами, в областях с быстро осциллирующей границей, в перфорированных областях. Такие модели исследовали Н. С. Бахвалов, В. Ф. Бутузов, А. Б. Васильева, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, Ю. Д. Головатый, В. В. Жи-ков, А. М. Ильин, Г. А. Иосифьян, С. М. Козлов, О. А. Ладыженская, Л. А. Люстерник, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, О. А. Олейник, Г. П. Панасенко, Б. А. Пламеневский, Л. С. Понтрягин, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, J. М. Arrieta, R. Hempel, S. Jimbo, F. Murat, L. Seco, B. Simon, L. Tartar и многие другие (см., например, [1, 2, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17, 19, 22, 23, 24, 26, 29, 30, 31, 36, 42,46, 51, 54, 55, 56, 57, 62, 64, 66, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 78]). В этих задачах термин "сингулярное возмущение"понимается в том смысле, что не существует замены переменных, переводящей их в краевые задачи в фиксированных областях с фиксированными граничными условиями для оператора, представляющего собой малое возмущение оператора (то есть, эти задачи не являются регулярными в смысле [38]). Другими словами можно сказать, что это краевые задачи с сингулярно возмущенной топологией (области или граничных условий).
Отдельный интерес представляют краевые задачи на собственные зна-

чения для оператора Лапласа в сингулярно возмущенных областях. Одной из первых работ, в которой рассматривалась сингулярно возмущенная задача на собственные значения, является статья А. А. Самарского [63]. В ней рассмотрена задача на собственные значения для оператора Лапласа в трехмерной ограниченной области с малым отверстием. Для этой задачи было получено асимптотическое представление для главного члена асимптотики собственного значения. Позднее аналогичные результаты получили Ю. Н. Днестровский, Sh. Ozawa, С. A. Swanson [28, 79, 84]. Главный член асимптотики собственного значения для оператора Лапласа в двумерной области с малым отверстием были построены Sh. Ozawa [81]. Полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций краевых задач для оператора Лапласа в трехмерных областях в случае, когда в области есть малая полость, на границе которой задается условие Неймана, были получены В. Г. Мазьей, С. А. Назаровым и Б. А. Пламеневским в [45]. Задачи со сменой типа граничного условия на малой части границы, стягивающейся в точку, были изучены Р. Р. Гадылыпиным в [14, 16, 20, 21].
В определенном смысле развитием этих постановок являются краевые задачи, рассмотренные в диссертации. В ней изучаются спектральные задачи для трехмерного оператора Лапласа в ограниченной области с двумя типами сингулярных возмущений:
• на узкой полоске, стягивающейся к замкнутой гладкой кривой на границе, задается однородное граничное условие Неймана, а на остальной части - однородное граничное условие Дирихле;
• в области вырезается тонкое тело, диффеоморфное тору, также стягивающееся к замкнутой кривой (но уже лежащей.внутри области); на границе этого тонкого тела задается однородное граничное условие Неймана, а на внешней границе - однородное граничное условие Дирихле.
Основной целью диссертации является доказательство теорем сходи-

4) для любого N > 0 выполняется следующее равенство
Ялг(Ф£(ж)) = уц(€,з,е), р-> оо. (2.38)
Доказательство. Ранее было доказано, что существует решение гщо = щ краевой задачи (2.34), определенное равенством (2.7), с асимптотикой

«1,о(^;5) = ^1,о(^;5)+ ^Д(5)р_г5т(г'(р), р->оо. (2.39)

Из определения И 1>1Д следует, ЧТО Ндо € .
Выберем главные члены аг-1’°^(5)г~! зт(г<р) асимптотик ф|+ю(а:) Рав~ ными /3((з)г~1зш(г<р) из (2.39). Тогда из (2.39) и леммы 2.14 следует, что
*>1,о(£; 5) = Рцо(£; я), р -4 оо.
С другой стороны, В силу леммы 2.8 существуют постоянные Л& о и функции о € с заданными главными членами асимптотик такие, что (2.37) выполняется при t = 0. Таким образом, построен ряд ф(°х,е). Причем в силу леммы 2.1 имеем: Ф^о = и^{х А(в)), а потому справедливо (0.10) для Л^о = Агд. Так как К(ф^) — К(Ч>£) (замечание 2.4), то (2.38) выполняется для N = 1.
Дальнейшее доказательство проводится по индукции. Пусть существует ряд ф№~2х,е), коэффициенты которого являются решением краевых задач (2.37), функции при г < N — 1 и у < [Цр] являются решениями краевых задач (2.34) и такие, что выполняется равенство
К^ф^) = ЗД-1- (2.40)
Так как Рдг^ € Длт_2д, то в силу замечания 2.3 и леммы 2.11 существует решение £ У7N-2(1 краевой задачи (2.34) с асимптотикой

VN,q(bs) = + ^аДб)р_гзт(г>), р -4 оо.