К теории резонанса в системах с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым

• Автор: Кондрашов, Роман Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Содержание
1 Введение
1.1 Общая характеристика работы
1.2 История вопроса
1.3 Основные результаты
2 Системы с двумя степенями свободы близкие к интегрируемым
2.1 Усредненные системы
2.2 Приведение в резонансном случае
2.2.1 Система первого приближения
2.2.2 Второе приближение
2.2.3 Вспомогательные преобразования
2.3 Модельная система
2.3.1 Состояния равновесия и их бифуркации
2.3.2 Глобальный анализ
2.3.3 Двухпараметрическое семейство
3 Анализ системы двух уравнений Дюффинга - Ван дер Поля
3.1 Автономный случай системы двух уравнений Дюффинга -Ван дер Поля
3.1.1 Решения невозмущенных уравнений. Резонансы
3.1.2 Предельные циклы в несвязанных уравнениях
3.2 Вычисление частично усредненной системы в случае (3
3.2.1 Вычисление частично усредненной системы первого приближения
3.2.2 Вычисление частично усредненной системы второго приближения
3.3 Вычисление частично усредненной системы в случае (3
3.3.1 Вычисление частично усредненной системы первого
приближения

3.3.2 Вычисление частично усредненной системы второго
приближения
3.4 Исследование частично усредненных систем
3.4.1 Состояния равновесия
3.4.2 Условия существования нетривиальных резонансных
структур
3.5 Существование гомоклинических структур
3.6 Численное исследование частично усредненной системы
3.6.1 Исследование в случае /3
3.6.2 Исследование в случае /3
4 Глобальное поведение решений
4.1 Ограниченность числа нетривиальных резонансов
4.2 Глобальное поведение решений системы двух уравнений
Дюффинга-Ван дер Поля
4.3 Численные результаты
4.3.1 Случай /5
4.3.2 Случай /5
Приложение
Случай /5
Нахождение областей для различных резонансных уровней
Построение решений полностью усредненной системы
Построение решений частично усредненной системы
Случай /5
Нахождение областей для различных резонансных уровней
Построение решений полностью усредненной системы
Построение решений частично усредненной системы
Г«Пс1Вс1
Введение
Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, не допускают ни точного аналитического решения, ни полного качественного исследования. Обусловлено это, в первую очередь, их неинтегрируемостью, связанную, в частности, с наличием резонансов и гомоклинических структур. Поэтому важную роль играет рассмотрение классов нелинейных систем, которые малыми возмущениями отличаются от интегрируемых. Подобные системы играют фундаментальную роль в теории нелинейных колебаний. Среди таких систем наиболее изучены квазилинейные системы. Однако, при рассмотрении прикладных задач квазилинейные системы не отражают адекватно исходный процесс или явление. Поэтому необходимо рассматривать системы, близкие к нелинейным интегрируемым. Теория таких систем еще далека от завершения. Наиболее продвинуто исследование систем, близких к двумерным гамильтоновым. Это системы с одной и полутора степенями свободы.
Если говорить о системах с двумя и большим числом степеней свободы, то здесь имеются лишь частные результаты, касающиеся, например, проблемы существования и устойчивости периодических решений. Для систем с двумя степенями свободы, близких к нелинейным интегрируемым, в последние годы получены трехмерные усредненные системы, описывающие поведение решений исходных систем в резонансных зонах. Однако до сих пор отсутствуют примеры таких систем, для которых были бы найдены правые части усредненных систем и проведен их анализ. В связи с этим важнейшую роль играет полное исследование эталонных систем. К таким системам следует отнести системы двух слабосвязанных уравнений Дюффинга и маятниковых уравнений.
Представленные в диссертации результаты касаются анализа системы двух уравнений Дюффинга-Ван дер Поля и, в первую очередь, анализа структуры резонансных зон. Подобная система отражает основные черты систем двух связанных нелинейных осцилляторов. Действитель-

Колебательная область.
Рассмотрим систему (2.3.11) в колебательной областиDosc. Переходя от переменных V, w к переменным действие J - угол ф, придем к системе
, АКк (2К 2К
J = р [2к(р5 - рт)сп{ ф)сп{ ф)-
7Г 7Г 7Г
АКк ,2К (.
- ß P6ZCn( ф)
7Г 7Г
7Г 2Â' 2К
Ф' = ~ ~ РзРб)сп(—Ф)(2ксп(—ф))-

- pp6z(2kcn( ))j

z' = р[2k(-p7 - РЗР5 + РзР8 + р1рб)сп(—)]+

+ ß(Ps + РзРб)г-
При получении системы (2.3.15) использовались явные выражения старых переменных v,w через новые б{к),ф, задаваемые решением маятникового уравнения
v" + sin(v) = 0,
v = 2 arcsin (ksmf), w — 2кспф, ф — Ot.
Здесь О = модуль к = (1 + h)/2 полного эллиптического интеграла К изменяется в промежутке (0,1), §пф,спф - эллиптический синус И косинус соответственно, J{K) = §м wdv, Mh - множество уровня, определяемое соотношением H(w, V) = h. Отметим, что переход к переменным Теорема 2.5. В области 0 < J < Js, z < Ci система (2.3.15) приводит к следующей усредненной системе
J' = ДНГ, г) = Ыръ-ртШ2 - i)K(fc) + е(Щ/ж g
z' = /iF2( J, z) = ß(ps + nvs)z,
где Js = J( 1), C - сколько угодно большая положительная постоянная, модуль к эллиптических штегралов К(k), E(fc) зависит от J: k = {l + h{J))/2.
Доказательство. В отличие от исходной системы (2.3.2) в системе (2.3.15) переменные разделены на ’’быструю” -ф и ’’медленные” - J и z.