Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов

• Автор: Гайсина, Лилия Рамильевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 111 с.

Глава 1. Композиционные свойства обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией в ядре... 19 § 1.1. Обобщенные операторы дробного интегродифференцирования
§ 1.2. Преобразование Меллина
§ 1.3. Вывод композиционных свойств
1.3.1. Формулы-композиции для оператора
1.3.2. Формулы-композиции для оператора 1^ /(х)
Глава 2. Локальные и нелокальные задачи для гиперболических
уравнений
§ 2.1. Задачи Дарбу и краевые задачи для уравнения гиперболического типа с сингулярным коэффициентом
2.1.1. Постановка Дадач
2.1.2. Решение задач Дарбу
2.1.3. Разрешимость задач с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования в краевом условии
§ 2.2. Нелокальные задачи с интегральным условием
2.2.1. Постановка задач и решение задачи Коши
2.2.2. Сведение задачи I к интегральному уравнению
2.2.3. Разрешимость задачи II
Глава 3. Нелокальные задачи для уравнения смешанного типа в
неограниченной области
§ 3.1. Постановка задач Г, и Т2
§ 3.2. Эллиптические задачи
3.2.1. Решение задачи Г, в области эллиптичности

3.2.2. Решение задачи Тг в области эллиптичности
§ 3.3. Единственность решений задач Г, и Т2
§ 3.4. Существование решения задачи Г,
§ 3.5. Существование решения задачи Т2
Заключение
Литература

Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Практический интерес к данной области связан с применением уравнений гиперболического и смешанного типов в газовой динамике трансзвуковых течений, в математической биологии, в теории лазерного излучения, в теории упругости, в теории оболочек, в теории плазмы и других разделах науки и техники.
Впервые на важность уравнений смешанного типа обратил внимание С.А.Чаплыгин в 1902 году в работе «О газовых струях». Он показал, что движение газа в условиях перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа, которое в настоящее время называется уравнением Чаплыгина.
Первыми систематическими исследованиями в области уравнений смешанного типа являются работы Ф. Трикоми. В работе [78] он рассмотрел теперь хорошо известную задачу Трикоми - задачу отыскания решения уравнения смешанного типа с двумя переменными
уи +и =0,
•' XX уу
принимающего заданные значения на эллиптической части <т границы 30 области О задания уравнения и на одной из двух характеристик АС или ВС образующих гиперболическую часть Г = АС и ВС границы дО = сг и Г.
Результаты Ф. Трикоми в тридцатые годы обобщил С. Геллерстедт [83]. Для уравнения
ути +и =0,
XX уу
где т - натуральное нечетное число, С. Геллерстедт исследовал задачи, краевые условия которых задаются на двух кусках характеристик различных семейств, выходящих из внутренней точки линии вырождения уравнения или

4 гМр)г2(х)-А4хр-'г(х)
= А3г2Т(1 - Р){і11рлру2х) + (і0:^-^рух). (2.41)
Вернемся к выражению (2.30) г2(х) = — (V, (г)/„ [Ял/Дх - 7)1/?, которое

можно записать в виде
Г20) = Г, (х) + /г, Д) [Ял/Дх-Г )]* ,
о дх

или, используя формулу (2.36),

В виду справедливости (2.42) и гДх) = г(х)хр 1, после некоторых преобразований выражения (2.41) имеем
где Цх,0 = 1/, [я^-о], Е(х) = С^'^уУх)-С3{г0Г"1-/>2-р'Р<рх),
С _ Л2 А,ГіГ(р) с А3у2Т(1-р) с
' ~ 4 Л,у,ГЫ-Л’ 2 АзГ,Г(р)-А4’ 3 ЛзУ|Г(р)-Л4'
Равенство (2.43) - это уравнение Вольтерра второго рода. Таким образом, мы свели решение задачи IV, «в смысле однозначной разрешимости», к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода (2.43).
Исследуем вопрос о его разрешимости. Учитывая, что функция Бесселя [10,с.252] представляет собой ряд, который сходится на всей плоскости комплексного переменного, и, следовательно, представляет целую функцию, имеем ядро Т(х,1) непрерывное в квадрате 0 ^ х, г й 1. Выясним поведение правой части g(x) уравнения (2.43). Для этого используем лемму, доказанную в работе [22].

Т, (х) + С,/г, (г)Т(х, = g(x),
(2.43)