Глобальная динамика каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях

• Автор: Починка, Ольга Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 221 с. : 14 ил.

Содержание

Введение. Общая характеристика работы

1 Свойства каскадов Морса-Смейла на п-многообразиях

1.1 Вспомогательные сведения из теории динамических систем

1.2 Вложение и асимптотическое поведение инвариантных

многообразий периодических точек

1.2.1 Представление объемлющего многообразия объеди-

нением инвариантных многообразий периодических точек

1.2.2 Вложение инвариантных многообразий периодических точек в объемлющее многообразие

1.2.3 Топологические инварианты, связанные с вложени-

ем инвариантных многообразий периодических точек в объемлющее многообразие

1.2.4 Линеаризующая окрестность
1.2.5 Асимптотическое поведение инвариантных многообразий периодических точек
1.3 Представление динамики в виде “источник-сток”
1.3.1 Диффеоморфизмы “источник-сток”
1.3.2 Локальная функция Морса-Ляпунова

1.3.3 Аттракторы и репеллеры
2 Критерии ручного вложения сепаратрис и условия включение в поток для каскадов Морса- Смейла на 3-многообразиях
2.1 Вложения в 3-многообразие, фундаментальная группа которого допускает нетривиальный гомоморфизм в группу

2.1.1 Свойства ^-существенного тора
2.1.2 Критерий тривиальности ^-существенного узла
(тора)
2.2 Вложение сепаратрис в 3-многообразие
2.2.1 Поведение ручной сепаратрисы в окрестности стока
2.2.2 Критерий ручного вложения сепаратрис в
многообразие
2.3 Построение каскадов на §3, не включающихся в топологический поток
2.3.1 Построение пучков дуг в!
2.3.2 Необходимое условие включения трехмерного каскада в топологический поток

2.3.3 Построение каскада на 3-сфере с заданным пучком
одномерных сепаратрис
3 Топологическая классификация каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях
3.1 Согласованная система окрестностей
3.2 Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности
3.2.1 Основы построения сопрягающего гомеоморфизма .
3.2.2 Доказательство классификационной теоремы
3.3 Топология трехмерных характеристических пространств .
3.3.1 Перестройка вдоль тора и бутылки Клейна
3.3.2 Перестройка вдоль 5-ламинации
3.4 Реализация
4 Построение гладкой функции Ляпунова для каскадов Морса-Смейла
4.1 Глобальная функция Морса-Ляпунова
4.1.1 Необходимые сведения из теории Морса
4.1.2 Общие свойства функции Ляпунова
4.1.3 Существование и типичность функций Морса-
Ляпунова

ким подмногообразием, при этом компонента ТУ/ является замкну-
тым множеством и (с1 ТУ/ ТУ/) С Д с1 ТУ® для г > 1. Более того,

для каждого г = 1,... ,пе существуют трубчатая окрестность ЛфТУ/) множества ТУ/, числа т € К, I/? £ { —1,+1}, множество X/ С ТУц„» и гомеоморфизм : У (ТУ/) —> Л/’/ф» со следующими свойствами:
!) и т7. ([с]) = т ■ Лл^{у1{[с)) для любой замкну-
той кривой с С 7У(ТУ/);
для ^ < г и любого слоя V слоения Хг пересечение (А^(ТУ/) П (Д®)_1(2>)) либо пусто, либо является подмножеством слоя слоения
%Г 1 ..в ув .
1 ) •>
Аналогичным образом определяется и-ламинация С (V, 7?^) с помощью канонического диффеоморфизма а2,„ : М3 —>■ К3, заданного формулой й2^{х,Х2,хф) — (п ■ 2х, 2x2, V ■ |жз): канонического растяжения Й2„ = а>2,ь> |; пространства орбит канонического растяжения Ж„ = (ТУ/ 0)1а„ и его трубчатой окрестности ЙX = (Л/У)/а,2 г^, где Л/2 = {(жь ж2, Х3) е К3 : (х + Жз)ж| < 1} и Я% = Я2 ТУ/,.
Предложение 3.2. Для г = ко + 1,..., к множество Ш

и ТУ/г является в-ламинацией на многообразии (Тфтр).
]=кй+
Рассмотрим каноническое растяжение аи — а,Ду$- Пространство орбит канонического растяжения = (ТУ/ 0)/а/„ является парой узлов при V = +1 и узлом при V = —1. Множество Л//Ф = (Ях)/ах^ является трубчатой окрестностью где Л/-“ = Я ТУ/. Естественная проекция : Ях —> ЯД является накрытием, которое индуцирует
отображение у. , состоящее из нетривиальных гомоморфизмов в груп-
■^1,1/
пу Ъ на фундаментальной группе каждой компоненты связности многообразия Я’/„)• Обозначим через 0{ слоение на Я[ю слои которого
являются проекциями относительно р слоев слоения

Определим диффеоморфизм Сщ : Я{и ТУ/,, -> ЯД >У“„ формулой
(1,1/ = Рлии (р^ 1^1%%) ■

Пусть Ш*5 = и ТУ/ — в-ламинация на многообразии (У, у.). Посколь-
г=1 У