Краевая задача дифракции для системы уравнений Максвелла в экранированных слоях, связанных через отверстие

• Автор: Родионова, Ирина Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 100 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Сведение векторной задачи для системы уравнений Максвелла к скалярным задачам для уравнения Гельмгольца
1.1. Постановка краевой задачи дифракции
1.2. Сведение векторной задачи к двум скалярным для уравнения Гельмгольца
Глава 2. Исследование спектральной задачи
2.1. Однородная краевая задача дифракции. Теорема единственности для случая сред с поглощением
2.2. Функция Грина для слоя 1-го рода
2.3. Функция Грина для слоя 2-го рода
2.4. Теоремы о голоморфности и фредгольмовости интегральной оператор-функции. Теорема о дискретности спектра
Глава 3. Задача дифракции на отверстии
3.1. Сведение задач к интегральным уравнениям
3.2. Теоремы о разрешимости интегральных уравнений
3.3. Векторные потенциалы и представление решений
Глава 4. Численный метод и результаты расчетов
4.1. Метод Галеркина
4.2. Сходимость метода Галсркииа
4.3. Реализация метода Галеркина
4.4. Результаты расчетов
Список литературы

Введение
Настоящая работа посвящена аналитическому и численному исследованию векторной задачи дифракции электромагнитной волны в экранированных слоях, связанных через отверстие. Это - задача дифракции электромагнитного поля на ограниченном отверстии в идеально проводящей бесконечно тонкой плоскости, расположенной между двух идеально проводящих бесконечно тонких плоскостей, причем электродинамические параметры сред между плоскостями могут быть различны.
Наиболее естественный подход к решению этой задачи - сведение се к векторному интегродифференциальному уравнению на отверстии [65]. Задача дифракции электромагнитного поля на отверстии в плоском, идеально проводящем экране является «двойственной» к задаче дифракции на плоском ограниченном идеально проводящем экране и приводит к аналогичному интегро-дифференциальному уравнению па экране. Поэтому, прежде всего, дадим краткий обзор методов и результатов исследования задачи дифракции на тонком идеально проводящем ограниченном экране.
Интерес к задачам дифракции на экране возник давно, и они являются, по существу, классическими в электродинамике. Традиционная (физическая) теория дифракции создавалась на протяжении нескольких столетий X. Гюйгенсом,
О. Френелем, Г. Гельмгольцем, Г.Р. Кирхгофом, Д. Лармором и другими авторами. Для понимания волновых процессов и расчета дифракционных полей большое значение имеет принцип Гюйгенса, согласно которому распространение воли обусловлено действием вторичных источников. Френель уточнил принцип Гюйгенса, приняв во внимание интерференцию сферических волн, излучаемых вторичными источниками. Дальнейшее уточнение принципа Гюйгенса - Френеля принадлежит Кирхгофу, который дал его строгую формулировку, основываясь на уравнении Гельмгольца. В современной теоретической оптике приближенное решение дифракционных задач производится почти исключительно с помощью принципа Гюйгенса - Кирхгофа. Электродинамическая (векторная) формулировка принципа Гюйгенса была дана Котлером.

Благодаря работам А. Пуанкаре стало ясно, что в задачах дифракции электромагнитных ноли речь идет о некоторой краевой задаче математической физики. В общей постановке задача состоит в нахождении решений уравнений Максвелла, удовлетворяющих определенным краевым условиям. Позднее А. Зоммерфельд сформулировал дополнительные «условия излучения» (условия на бесконечности), обеспечивающие единственность решения краевой задачи. Следует учитывать также особое поведение полей в окрестности края поверхности тонкого экрана. Уже первое аналитическое решение задачи дифракции на идеально проводящей полуплоскости, полученное Зоммерфельдом [20], позволило проанализировать поведение электромагнитного поля (решения краевой задачи) в окрестности края тонкого экрана и поведение полей на бесконечности.
Идея метода сведения краевой задачи к поверхностному интегродиффс-ренциальному уравнению с помощью введения потенциалов принадлежит А. Пуанкаре. Впервые векторное интегродифференциальное уравнение в задаче дифракции на экране было получено А. Мауэ в [78]. Это уравнение стали называть интегральным уравнением электрического ноля (что не совсем точно, так как уравнение является интегродифференциальным, а не интегральным). Центральной проблемой при исследовании разрешимости интегродифференциаль-ного уравнения является выбор пространств для решений и для правых частей таким образом, чтобы обеспечить фредгольмовость (и, если удастся, однозначную разрешимость) этого уравнения в выбранных пространствах. Кроме того, пространства решений должно быть достаточно широким и содержать все физически допустимые ноля.
Изучение интегрального уравнения электрического поля было начато А. Мауэ в [78]. Позднее в фундаментальной монографии Hönl H., Maue A. W., Westpfahl K. Theorie der Beugung, Springer-Verlag, 1961 (cm. [65]) была доказана теорема единственности для решений этого уравнения (и краевой задачи дифракции), исследовано поведение дифракционных полей на бесконечности и в окрестности гладкого края экрана, получены аналитические решения задач ди-

] £2 44 + М2 <Р + о(1) +
2 2 2 /21 + до п ку> п
пп п <к )п п о
♦Т«И I
пл2п2>к2

2 2 . 2 1 + Зон ку, л
гг.л п <к и" п о
1 £2 еп

+ р2

с1ср + о(1), при Я —> со.
Подстановка выражений для в (2,1.19) приводит к заключению, что Е = О, Н = 0 в и ь. Тогда из условия сопряжения (2.1.4), (2.1.5) получаем однородные задачи Дирихле для ЕТ,НУ и Неймана для НТ,ЕУ в слое £/~ для

уравнения Гельмгольца с вещественным параметром к и условиями на беско-

нечности (2.1.10)-(2.1.11). Как показано в [81], при к Ф л п эти задачи имеют только тривиальное решение.

Если к =я п для некоторого п, то рассмотрим отдельно слагаемое
Из уравнений Максвелла получаем

Пп ~ . п п
1(0/22 I К
М д_№
др К дер
де$ 1 де[ру
др Я д(р

Тогда
4р)Г - т-Ц К+о(д-2)=о(я-2),
1 шр2К[ 1 )
при Я -> со, поскольку первое слагаемое в ,12 тождественно равно нулю, а из (1.1.12) следует [6, С. 449], что