Костлявые аттракторы и магические бильярды

• Автор: Кудряшов, Юрий Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Костистые аттракторы
1.1 Введение
1.2 Определения и обозначения
1.2.1 Устойчивость неподвижных точек и инвариантных множеств
1.2.2 Аттрактор динамической системы. Определения и примеры
1.2.2.1 Максимальный аттрактор
1.2.2.2 Апрактор Милнора
1.2.3 Сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова
1.2.4 Косые произведения
1.2.4.1 Определение косого произведения
1.2.4.2 Примеры косых произведений
1.2.4.3 Ступенчатые и мягкие косые произведения
1.2.4.4 Обозначения
1.2.5 Хаусдорфова размерность и лемма Фальконера
1.3 Описание стратегии Городецкого-Ильяшенко-Негута
1.3.1 От случайных систем к ступенчатым косым произведениям
1.3.2 Гладкая реализация
1.3.2.1 Подкова Смейла
1.3.2.2 Отображение соленоида
1.3.2.3 Диффеоморфизм Аносова
1.3.3 Возмущения: от косых произведений к
диффеоморфизмам общего вида
1.3.4 Краткое описание стратегии
1.4 Краткий обзор результатов, полученных при помощи стратегии
1.5 Пример в классе ступенчатых косых произведений
1.5.1 Определение костистого аттрактора для косых произведений
1.5.2 Пример
1.5.3 Наличие костей
1.5.4 Хаусдорфова размерность и мера

1.5.5 Плотность графика
1.5.6 Совпадение аттракторов
1.6 Возмущения в классе ступенчатых косых произведений
1.6.1 Открытое множество примеров
1.6.2 Наличие костей
1.6.3 Хаусдорфова размерность и мера
1.6.4 Отсутствие полых костей
1.7 Пример в классе гладких отображений
1.8 Возмущение в классе мягких косых произведений
1.8.1 Технические леммы
1.8.2 Наличие костей
1.8.3 Хаусдорфова размерность и мера
1.8.4 Плотность графика
1.8.5 Совпадение аттракторов
1.9 Открытое множество примеров в классе диффеоморфизмов
1.9.1 От отрезка к окружности
2 Бильярды
2.1 Введение
2.1.1 Основные результаты
2.1.2 От гипотезы Вейля к гипотезе Иврия
2.2 Сведение к аналитическому случаю
2.2.1 Идея доказательства
2.2.2 Формальное доказательство теоремы 2.1.3
2.3 Аналитический случай
2.3.1 Основные обозначения
2.3.2 Доказательство теоремы 2.1.4
2.3.3 Существование пределов
2.3.4 Случай двух особых точек
2.3.5 Случай касания
2.3.6 Совпадение пределов
2.4 Случай произвольного числа вершин
2.4.1 Пятиугольные орбиты

Введение
Диссертация посвящена изучению динамических систем. Динамические системы возникают естественным образом как математические модели процессов, происходящих в реальном мире. Различают два вида динамических систем: динамические системы с непрерывным временем, задающиеся дифференциальными уравнениями, и динамические системы с дискретным временем, которые задаются отображением перехода от состояния системы в настоящий момент времени к её состоянию через фиксированный период времени.
Для системы с непрерывным временем можно рассмотреть семейство отображений (р,, переводящих состояние системы в настоящий момент в её состояние через t секунд, а для системы с дискретным временем, заданной отображением Р, — семейство отображений Р".
В некоторых особенно простых случаях уравнения, описывающие динамическую систему, удаётся решить в явном виде, то есть получить явную формулу для ср{ или Рп. В этом случае свойства решений можно изучать, исходя из полученных формул.
В силу теоремы существования и единственности решения задачи Коши, решение дифференциального уравнения существует и единственно и для более сложных систем. Однако, для этого решения почти никогда не существует явной формулы — выражения, содержащего только элементарные функции и знаки интеграла. Один из первых подобных примеров привел Лиувилль: решения уравнения х = х2 — 7 нельзя записать в явном виде.
Но даже если нельзя выписать формулу для решения уравнения, можно выяснить некоторые свойства динамической системы — это и есть задача качественной теории динамических систем.
Вот несколько вопросов, касающихся динамических систем, на которые иногда получается ответить, не зная решений соответствующего уравнения.
• Сколько у системы положений равновесия и периодических орбит?
• Для каких подмножеств фазового пространства множество точек, притягивающихся к этому подмножеству, достаточно велико?

• существует G-инвариантное множество Y С X и непрерывное отображение р Y —> А, такое что р ° G — h ° р. Более того, отображение
H: Y —> Ах М, Н(Ь, х) = (р(Ь, х), х)
является гомеоморфизмом.
• листы Wb = p~b) липшицево близки к вертикальным и гёлъдерово зависят от Ь. Это означает, что листы Wb — графики литиицевых отображений ßb : М —> В, таких что
d0>(ßh, Ь) ^ 0(8), Lipßb < 0(8), dcMb’ßb) < d(b,b f-0^0(8-a),

. / log Я log//
а = min -------,
V log Л_ log р__ )
Более того, отображение Н ] тоже гёлъдерово с тем же показателем а - 0(8).
1.3.4 Краткое описание стратегии
В этом пункте мы кратко напомним описанные выше этапы стратегии Го-родецкого-Ильяшенко-Негута.
• Построить локально типичный пример действия свободной полугруппы на многообразии с интересными динамическими свойствами.
• Используя конструкцию, описанную в пункте 1.3.1, получить из неё пример ступенчатого косого произведения с интересными свойствами, локально типичный в классе ступенчатых косых произведений.
• Используя одну из гладких реализаций сдвига Бернулли (см. пункт 1.3.2), построить пример гладкого отображения, обладающего аналогичными интересными свойствами. При этом приходится переходить от ступенчатых косых произведений к мягким.