Точные решения краевых задач для гиперболических систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа

• Автор: Воронова, Юлия Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 161 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Скалярные гиперболические уравнения
§1. Построение решения задачи Гурса для линейного гиперболического уравнения
§2. Точное решение задачи Коши
§3. Краевые задачи для нелинейных гиперболических уравнений, интегрируемых по Дарбу
Глава 2. Метод каскадного интегрирования Лапласа для гиперболических систем уравнений
§4. Инварианты и обобщенные инварианты Лапласа
§5. Метод построения общего решения для двухкомпонентных систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами
Лапласа
§6. Алгоритм построения общего решения для
компонентной гиперболической системы уравнений
§7. Линейные гиперболические системы уравнений с постоянными коэффициентами
§8. Системы уравнений Эйлера-Пуассона
Глава 3. Задачи Гурса и Коши для гиперболических систем уравнений
§9. Задача Гурса для линейной гиперболической системы
уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа104 §10. Линеаризованные цепочки Тоды

§11. Задача Коши
§12. Задача Гурса для одной нелинейной гиперболической системы уравнений
Заключение
Литература

Введение
Изучение проблемы интегрирования гиперболических уравнений

иху = Р(х,у,и,их,иу), (0.1)
восходит к классическим работам таких математиков, как П.С. Лаплас, Ж. Лиувилль, С. Ли, Ж.Г. Дарбу, Э. Гурса, К.Г. Якоби. Например, французский математик П.С. Лаплас предложил метод нахождения общего решения специальных линейных гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, впоследствии именуемый "каскадным методом Лапласа". Данный метод использовал Ж.Г. Дарбу для отыскания интегралов и для выяснения интегрируемости заданного уравнения [55, 56, 65, 66]. Под интегрируемостью Дарбу подразумевал наличие у уравнения (0.1) нетривиальных х— и у— интегралов. Метод Дарбу интегрирования гиперболических уравнений (0.1) состоит в отыскании интегралов по каждому характеристическому направлению и дальнейшему сведению его к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Но, в общем случае получение явных формул общего решения весьма затруднительно.
В более поздних исследованиях, в работах Гурса, Вессио (см. [60, 65, 66]) для нахождения интегралов стал использоваться алгебраический подход, использующий характеристические векторные поля (именно в рамках такого подхода были получены, по-видимому, первые списки уравнений, обладающих интегралами по обоим направлениям [60]).
Другой подход к интегрированию нелинейных уравнений связан с однопараметрическими группами преобразований, т.е. с симметриями. Понятие симметрии впервые было введено в работах С.Ли и

где Х(х), У(у)-произвольные функции.
Тогда динамическая система (см. (3.12)), с учетом симметрий (3.18), будет состоять из одного уравнения и иметь следующий вид
т^ = еи(Х(х) + У(у)). (3.19)
Удовлетворим уравнение (3.19) краевым условиям (3.14):
Г е«(*,°)(Х(х) + У(0)) = 1,
е«°*КХ(р) + У(у)) = 1,
Из выражений (3.20) выразим функции Х(х), У(у), получим
(3.20)
Теперь воспользуемся условием согласования, положим в равенствах (3.20) ж = 0, у = 0:
х(0)+г{-а) = 7ШШ' (3'22)
Тогда уравнение (3.19), с учетом формул (3.21), (3.22) примет следующий вид
ди А(х,у)

= (3.23)
N 1 1
МХ>У) = 77 хт/пх +
ф{х)ф{0) ф{0)ф(у) Ф(0)Ф(0)'
Уравнение (3.23) есть обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, решение которого можно представить в виде
“ = 1п (тсГа) ■ (3'24)
здесь С(х, у)-произвольная функция. Для того чтобы найти функцию С(х, у), подставим найденное решение (3.24) в исходное уравнение (3.13). Получим
С'фу(х,у) = 0.