Классические граничные задачи для эллиптических систем уравнений второго порядка

• Автор: Тупякова, Вера Павловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Чита
• Количество страниц: 88 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Глава I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЯХ И СИСТЕМАХ
Глава II. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
С ПАРАМЕТРОМ X В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Исследование системы на эллиптичность
§ 2. Задача Дирихле в полупространстве В: {г >
§ 3. Задача Дирихле в полупространстве В': {х >
§ 4. Задача Дирихле для одной эллиптической системы в
полупространстве В: {хп >
Глава III. ЗАДАЧА НЕЙМАНА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 1. Задача Неймана для многомерной эллиптической системы с
параметром Я
§ 2. Задача Неймана для многомерной эллиптической системы с
параметрами Я = Я, = Я2
Глава IV. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
С ПАРАМЕТРОМ Я В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Третья краевая задача в полупространствах Н : {х > 0},
Н':{у> 0}, ІГ :{=> 0}

§ 2. Некоторые другие граничные задачи
§ 3. Граничная задача с более общим граничным условием
Литература

Введение
Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнений и систем уравнений. Среди таких задач наибольший интерес представляют так называемые нефредгольмовые задачи, исследование которых, как правило, сводится к изучению сингулярных интегральных уравнений, а они в многомерном случае далеко не всегда относятся к классам достаточно изученных. Наиболее существенные результаты в теории классических граничных задач для общих эллиптических уравнений второго порядка принадлежат Ж.Жиро [35]. Эти результаты изложены в монографии [36]. Уравнения и системы уравнений с двумя независимыми переменными изучены достаточно полно [2,3]. Гораздо сложнее обстоит дело с эллиптическими уравнениями и системами с многими независимыми переменными [31].
В 1937 году И.Г. Петровский [19] выделил широкий класс систем уравнений в частных производных, которые теперь называются эллиптическими по Петровскому. Эллиптические по Петровскому системы уравнений с частными производными второго порядка помимо многочисленных приложений в проблемах физики имеют чисто теоретический интерес. На решениях этих систем обобщаются многие факты, справедливые для решений одного эллиптического уравнения [20], например, все достаточно гладкие решения таких систем аналитичны. Однако свойства разрешимости классических граничных задач для эллиптических по Петровскому систем существенно отличаются от случая одного уравнения. В 1948 году A.B. Бицадзе построил пример эллиптической по Петровскому системы двух уравнений второго порядка, для которой нарушалась нётеровость задачи Дирихле [1]. Эту систему можно записать в виде одного комплексно-

X"+a2X = 0 (2.35)
V"+a2V = 0, (2.36)
где а = const.
Уравнения (2.35), (2.36) имеют общее решение:
X = Д, cos а2 + Вх sin а%2 V = А2 соьаф, + В2 sin at,3,
где А],В1,А2,В2 -произвольные постоянные.
Так как V ограниченна по а X ограниченна по £2, то «является ограниченной функцией по 2 и £з- Следовательно, однородная задача Дирихле для системы (2.1) имеет бесконечно много ограниченных решений, но не стремящихся к нулю.
3. Если Л = сх +1 или Л-2, то уравнение (2.32) параболического типа. Предположим для определенности, что Л = 2, тогда уравнение запишется в виде:
( 7 лд2со — /
(ci ~х)-тт=КуЬ (2J7)

Считаем далее, что F является достаточно быстро убывающей функцией на бесконечности и существуют интегралы

Fx{y,z)dz

J z-Fx(y,z)dz.

Тогда, дважды интегрируя уравнение (2.37) от 0 до z будем иметь:

®{у, Z) = -у— J (z- rj)Fx {у, rfidr7 + p{y)z + а(у)
ci -1 о