Комплексная задача Коши в пространствах аналитических функций с интегральными метриками

• Автор: Бирюков, Алексей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Аналитическая задача Коши в пространствах с интегральными метриками

§1. Комплексная задача Коши в случае распространения особенностей по “цилиндрической” поверхности
§2. Комплексная задача Коши в случае распространения особенностей по “конической” поверхности

§3. Описание систем, удовлетворяющих условиям огйАц < тгц—^nj и огйАц < тпі—т^+І

Глава 2. Задача Коши в классах целых функций конечного порядка

§1. Задача Коши в шкале Ехртдд.р

§2. Задача Коши в шкале Ехрт л а ч-Р

Литература

Введение
Настоящая диссертация посвящена исследованию задачи Коши для системы комплексных линейных дифференциальных уравнений
и[(Ь, г) — А(£, г, Б)и = г) (0.1)
и(^,г) = р(г) (0.2)
в классах аналитических функций с интегральными метриками. Исследование такого рода задач было начато в 1842 году О. Коши. Он изучил систему уравнений
+ Е1 Е = *), (о-з)
*:=0 ]=1 » = 1,...,ЛГ.
и получил, что, если коэффициенты операторов А^(Ь, г, О) аналитические в некоторой области V С С^1 функции, и порядки этих операторов подчинены условиям
огйА^(Ь, г, £>) < й; — к, (0.4)
то для произвольных г), аналитических в некоторой окрестности и(Ьо, .го) точки (1о, го) 6 V и любых начальных функций ^ + = /*(*, г) (0-5)
*с=0 ^=
^ г) = т(г) (0-6)
г = 1 ,...,N,1$ = 0,1,...,вг - 1,
являющееся вектор-функциейи(Ь, г), аналитической в некоторой окрестности и^о, го), которая, вообще говоря, меньше исходной окрестности и(Ь 0,г0).

В 1875 году С. Ковалевская также установила условия (0.4). Более того, она выявила существенность этих условий, а именно, привела примеры, подтверждающие, что при нарушении неравенств (0.4) аналитической разрешимости может не быть.
В дальнейшем тоерией Коши-Ковалевской занимались многие исследователи. В 1974 году С. Мизохата [1] доказал, что в случае одного уравнения неравенства Ковалевской являются необходимыми и достаточными для аналитической разрешимости задачи Коши.
Для систем уравнений этот результат не справедлив, как это следует из работы 1964 года Ж.Лере, Л. Гординга, Т.Котаке [2]. В этой работе доказана аналитическая разрешимость задачи Коши для систем, удовлетворяющих условиям Лере-Волевича огс1А^ < т.1 — - к,
где ГП1, ...,тм— произвольные целые числа, mj > 1.
Далее в работе [3] получены необходимые и достаточные условия для локальной корректности задачи Коши (0.1), (0.2) в классах аналитических функций с супремум-нормами. Этот вопрос рассматривается в следующих случаях
1) Функции из пространства решений могут допускать особенности степенного характера при подходе к границе цилиндра или конуса (аналитическая задача Коши).
2) Функции из пространства решений могут допускать определённый экспоненциальный рост по “пространственной’ переменной ,? на бесконечности (экспоненциальная задача Коши).
В настоящей диссертации мы также изучаем вопрос об условиях для корректности задачи (0.1), (0.2) в классах аналитических функций
1<СГ (*>*)! > «о > о.
Возьмём в качестве начальной вектор-функции= (0,0, <^Л(гг), 0, где (рк(г) = {х^гп-]0 е Ап30,л;р, а значит и ^ е Дт,я;р.
В качестве правой части системы (1) возьмём Л.(£, г) = 0. Соответствующее решение задачи (1), (2)
^ ^ ^т,Л,ор)
обязано удовлетворять равенству
т*о^о
%(М) = Ё

или, что тоже,
4(0. г) - Е
Домножим обе части последнего равенства на целую функцию (Д — г)тгою~т'о +тзо~2 (по нашему предположению 7ПгоЛ> > ггца — + 2).
Получим
<0(0, г)(Я-гГ^-тю+тЛ1-2 = Е <Л)(0) (9)
а=0 ' '
В силу леммы 2 этого параграфа функция иго(0,г) £ Дп,0+1,Я;р, а значит правая и левая части равенства (9) обязаны принадлежать этому функциональному пространству. Ясно, что все слагаемые в сумме (9), соответствующие а — 0,...,т^0 — 1, принадлежат пространству ■От,0+1,Я;р- Тогда и функция
пт,от(п т1п---(т.т+т»п.)п~1)
(Д_2)т*0+
принадлежит этому классу. Покажем, однако, что это не так. Действительно, для всех г таких, что Д/2 < г < Д рассмотрим интеграл

I |Я-ге'«|(т'0+1)1,‘
Существует число я : 0 < в < 2 такое, что (тг0 4- 1)р + в— число чётное. Тогда