О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с произвольным степенным весом

• Автор: Алиев, Ислам Рзаханович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 87 с.

Краткое содержание работы

ГЛАВА I. Теоремы существования и единственности

§ 1.1. Уравнение с постоянными операторными коэффициентами и

отклонениями аргумента

§1.2 Случай маловозмущенного уравнения

ГЛАВА II. О нормальной разрешимости уравнения

§2.1. Конечномерность ядра оператора Ьро

§2.2 Конечномерность коядра оператора Ьра

§ 2.3 Индекс оператора Ьро

ГЛАВА III. Уравнение в полупространстве

§ 3.1 Вспомогательные леммы

§ 3.2 Случай начальной задачи
§3.3 Некоторые замечания по уравнениям с линейным отклонением
аргумента
Литература

Характерной особенностью современной теории дифференциальных уравнений состоит в использовании абстрактной теории операторов в гильбертовом пространстве. Это можно объяснить тем, что различные задачи могут быть записаны в виде уравнения Ьи = /, изучение которого позволяет отвлекаться от специфических и частных трудностей, присущих каждой конкретной задаче, сосредоточив внимание на наиболее общих закономерностях. Другим преимуществом этой теории является то, что уравнения с неограниченными операторными коэффициентами охватывают как частный случай уравнения с частными производными, изученными не достаточно.
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились еще в XVIII веке в связи с решением задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте. Основные теоремы общей теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и постановка начальной задачи были даны в диссертации А.Д. Мышкиса «Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом» (1950).
Разработка теории таких уравнений начата, в основном, во второй половине 20 — века под влиянием запросов техники и естествознания. Теория этих уравнений стала применяться в самых разнообразных областях механики, физики, биологии, техники и экономики. Особенно эта теория нашла свое применение в современной технике, где имеет дело с колебательными процессами в системах с последствием и в системах с запаздывающими связями, в автоматике и телемеханике, электросвязи, радиолокации и т.д. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе может высказать появление самовозбуждающихся колебаний, увеличение перерегулирования и даже неустойчивость систем.
Причиной неустойчивости горения в жидкостных ракетных двигателях является, как принято считать, наличие времени запаздывания,
времени, необходимого для превращения топливной смеси в продукты сгорания. Все это объясняет значительное усиление внимания к уравнениям с запаздывающим аргументом в последнее время.
Дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом определяется как уравнение, в которое, кроме аргумента t, входит искомая функция и её производные, взятые вообще говоря при различных значениях аргумента /. Такое уравнение имеет запаздывающий тип, если значения старшей производной при любом значении t = t0 определяются через младшие производные при / Переход от обычного уравнения x'(t) = к уравнению с
отклоняющимся аргументом означает, что вместо х(() в правой части рассматривается функция x(t - h(t)), где h(t) - заданная функция.
Уравнение с сосредоточенным запаздыванием
Lu(t) = Dlu(t)-fjAJ(t)u(t-hj(t)) = f(t), D,=~, (1)
j. о l ot
является частным случаем уравнения с распределенным запаздыванием
Lu(t) = D, u(t) - ]и(/ - r)drr(t, т) = /(/), (2)
" f0,-со < t < О,
когда г(г,г) = £ЛД0/(г-/г,.(0), /(,) =
р, [ 1,0 < t < оо.
Если решение уравнения (1) или (2) находится на участке [т0,оо), то при подстановке u(t) в уравнение появляются значения u(t) при значениях аргумента, меньших t0, т. е. там, где эта функция не определена. Поэтому эти значения надо задавать дополнительно. Задавая u(l) = g(i) при tt0 рассматривается как бы продолжение начальной функции g(t). Если inf(t - h/t))” = h, то начальную функцию g(t) достаточно задать на участке [й,/0].

ГЛАВА II. О нормальной разрешимости уравнения
В первой главе мы рассматривали уравнения с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента и маловозмущенный случай таковых, т.е. уравнения Lpu(t) = f(t) и
^>и(0 = Д0, |К-(4 hj(t) порождаемого функционально — дифференциальными уравнением с постоянными неограниченными операторными коэффициентами Aj и отклонениями аргумента й. получены необходимые и достаточные условия непрерывной обратимости оператора Lp:Xpa -> Y*“. В случае же «малых» в некотором смысле переменных составляющих Aj(t) и hj(t) получены достаточные условия непрерывной обратимости оператора Lp0: X'Ra -» Ypa при более жестких условиях на Л,. В данной главе, при более слабых условиях, мы докажем фредгольмовость оператора Lpo : Xxf -> Y'pa в следующем понимании: оператор L:BI^>B2, В,, В2 - банаховы
пространства, называется нормально - разрешимым, если выполнены условия: 1) уравнения Lu = 0 имеет конечное число а линейно
независимых решений в В,; 2) его область значений ВВ,замкнута в В2; 3) фактор - пространство В2 /ВВ, имеет конечную размерность р
Предполагается компактное вложение пространства X в пространство
§2.1. Конечномерность ядра оператора Lpo
При снятии условия малости переменных составляющих Aj(t) операторных коэффициентов и hj (!) отклонений аргументов оператора Lpo уравнения может не иметь место однозначная разрешимость уравненияВ;юи^) = 0, т.е. оператор Lpo: X'R" -> Ypa может иметь ядро